En résumé :
Pour une fonction de la variable complexe définit sur un ouvert :
- holomorphe signifie dérivable au sens habituel des taux d'accroissement pour la topologie usuelle du module
.
- holomorphe implique
, et même beaucoup mieux : analycité, c'est--à-dire que la fonction est égale à la somme de sa série de Taylor autour de n'importe quel point de l'ouvert où elle est définie
- ça implique aussi (attention à l'hypothèse de simple connexité) des propriétés dingues comme le principe du maximum, des zéros isolés, des propriétés harmoniques, la surjectivité dans le cas non constant, et tous les résultats usuels s'appliquent (formules de Cauchy, théorèmes de Morera, de Jordan, des résidus, de Rouché, et plein d'autres résultats magnifiques)
- tout ceci sert (si tu continues dans cette voie) à introduire les variétés complexes, et aussi le calcul fonctionnel holomorphe (remplacer les
complexes, par des opérateurs (compacts) !)
- si tu fais plutôt de la théorie de la mesure, tu verras que c'est sympa d'étudier des processus dans le plan complexe plutôt que dans le plan réel
Pour une fonction de deux variables :
- la différence entre une fonction de deux variables différentiable s'appelle "équations de de Cauchy-Riemann"
- plus exactement, une fonction vue comme une fonction f : z->f(z) est holomorphe ssi elle est différentiable vue comme fonction de Re(z) et Im(z) ET vérifie les équations de Cauchy-Riemann.