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Analyse complexe, fonction holomorphe
Posté par Aalex00
Bonjour,
Dans mon cours j'ai la définition suivante pour une fonction holomorphe :
Soit , on dit que
est holomorphe sur
si en tout point
de
(intérieur de
) :
existe.
Je sais qu'une fonction holomorphe est de classe , mais à t-on la réciproque ?
C'est peut être une question idiote...
Et lorsque l'on parle de fonctions definient des complexes dans les complexes, que signifie vraiment ? Y a t'il une subtilité entre dérivabilité sur les réels et sur les complexes ?
Et oui y a une grosse difference entre les 2 notions!
L'application complexe Re(z) n'est pas holomorphe alors que sa version usuelle de R2
x+iy -> x est bien de classe C1
Y a plein dautres differences que tu verras par la suite!
Merci beaucoup de t'as réponse.
Mais j'ai déjà vu le cours d'analyse complexe, cependant j'aimerais avoir des précisions sur ces points.
Bon ok j'ai trouvé une réponse satisfaisante sur Wikipedia. La voici pour ceux qui lirait ce post :
Citation :
"Il est important de remarquer que la condition de ℂ-différentiabilité pour les fonctions de variable complexe est bien plus contraignante que la condition analogue pour les fonctions de variable réelle. La différence est la suivante :
dans ℝ, il y a essentiellement deux manières de s'approcher d'un point : à droite, ou à gauche. Une fonction de variable réelle est dérivable en un point si et seulement si le « taux d'accroissement » admet en ce point une limite à droite et une limite à gauche ayant la même valeur (finie) ;
dans ℂ, il y a une infinité de manières de s'approcher d'un point ; chacune d'elles doit donner lieu à une limite (finie) du « taux d'accroissement », ces limites étant de plus toutes égales."
"Il est important de remarquer que la condition de ℂ-différentiabilité pour les fonctions de variable complexe est bien plus contraignante que la condition analogue pour les fonctions de variable réelle. La différence est la suivante :
dans ℝ, il y a essentiellement deux manières de s'approcher d'un point : à droite, ou à gauche. Une fonction de variable réelle est dérivable en un point si et seulement si le « taux d'accroissement » admet en ce point une limite à droite et une limite à gauche ayant la même valeur (finie) ;
dans ℂ, il y a une infinité de manières de s'approcher d'un point ; chacune d'elles doit donner lieu à une limite (finie) du « taux d'accroissement », ces limites étant de plus toutes égales."
Si on utilise l'expression f est dans C1(
)c'est qu'on identifie avec * := { (x , y) ² │ x + i y 
} et f avec f* := (Re(f) , Im(f)) qui va de U vers 
² .
Si f est holomorphe ( on dit aussi 
-dérivable ) f* est dans C1(U) .
Mais il existe des f non holomorphes telles que f* soit C1 .
Par exemple , l'application Re : z 
(z + )/2 de
vers n'est pas holomorphe bien que Re* : ² 
² soit C1 ( et même C
) .
En résumé :
Pour une fonction de la variable complexe définit sur un ouvert :
- holomorphe signifie dérivable au sens habituel des taux d'accroissement pour la topologie usuelle du module .
- holomorphe implique , et même beaucoup mieux : analycité, c'est--à-dire que la fonction est égale à la somme de sa série de Taylor autour de n'importe quel point de l'ouvert où elle est définie
- ça implique aussi (attention à l'hypothèse de simple connexité) des propriétés dingues comme le principe du maximum, des zéros isolés, des propriétés harmoniques, la surjectivité dans le cas non constant, et tous les résultats usuels s'appliquent (formules de Cauchy, théorèmes de Morera, de Jordan, des résidus, de Rouché, et plein d'autres résultats magnifiques)
- tout ceci sert (si tu continues dans cette voie) à introduire les variétés complexes, et aussi le calcul fonctionnel holomorphe (remplacer les complexes, par des opérateurs (compacts) !)
- si tu fais plutôt de la théorie de la mesure, tu verras que c'est sympa d'étudier des processus dans le plan complexe plutôt que dans le plan réel
Pour une fonction de deux variables :
- la différence entre une fonction de deux variables différentiable s'appelle "équations de de Cauchy-Riemann"
- plus exactement, une fonction vue comme une fonction f : z->f(z) est holomorphe ssi elle est différentiable vue comme fonction de Re(z) et Im(z) ET vérifie les équations de Cauchy-Riemann.