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Analyse complexe inégalité

Posté par
AnneDu60 06-02-19 à 11:53

Bonjour !

Soit f : intégrable au sens complexe.
Soit :[a,b]    a,b réels

Est-ce que :

|\oint_{\gamma }^{}{f}|\leq \oint_{\gamma }^{}{|f|}

D'autre part, j'utilise la formule d'intégration de Cauchy pour le disque :
c'est à dire : "Soient f holomorphe sur un domaine D, B:= B(c,r[ un disque dont l'adhérence est incluse dans D. Alors on a :
z B, f(z)= \frac{1}{2i\pi }\oint_{\varrho B}^{}{\frac{f(\varepsilon )}{\varepsilon -z}}     \varrho B ={z, |z|=r}

Avec ceci on voudrait montrer que :
z B , |f(z)| max{ |f(x)|, x\varrho B : }

Et dans le debut de la demo il utilise que :
|\frac{1}{2i\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(c+re^{it})dt}| max{ |f(x)|, x\varrho B }

Mais ok c'est vrai mais en quoi ça répond à la question  puisque le membre de gauche est |f(c)| et nous on veut tout z dans B ...

Posté par
Poncarguesre : Analyse complexe inégalité 06-02-19 à 13:26

Tu veux prouver le principe du maximum c'est bien ca?
J'imagine que dans ta démo tu supposes que le maximum est atteint en un point intérieur au domaine et c est ce point là...

Posté par
Poncarguesre : Analyse complexe inégalité 06-02-19 à 13:29

Aussi si tu ne mets pas les dz dans tes intégrales tu vas avoir du mal à comprendre pourquoi la formule de Cauchy te donne la seconde intégrale.

Posté par
AnneDu60re : Analyse complexe inégalité 06-02-19 à 23:23

Bonsoir,

Non pas du tout, à ce moment là du cours on avait pas encore parlé du principe du maximum.

Mais donc est-ce que l'inégalité reste vraie dans le cas complexe ?

Posté par
etniopalre : Analyse complexe inégalité 07-02-19 à 10:40


Si ( [a , b] , u ) est un chemin de classe C1  par morceaux  on a :

\oint_{u }^{}{f}   = \int_{a}^{b}{f(u(t))u '(t)}dt . C'est un complexe .

    \oint_{\gamma }^{}{|f|}  = \int_{a}^{b}{|f(u(t)|u '(t)}dt est aussi un complexe qui peut ne pas être un réel   .

Mais tu as : |\oint_{u }^{}{f}  | \leq  \int_{a}^{b}{|f(u(t)|. |u '(t)|}dt


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