Bonsoir cafeadicto,

Ton énoncé n'est pas clair sur plusieurs points. Déjà, pour la 1), la partie H dépend de z ou pas? Parce que si non, ça ne peut pas être borné...Pour la 2, est le du début je suppose? Pour la 3, convergence ponctuelle, uniforme?

En effet je ne le trouve pas clair non plus, je l'ai recopié ici tel quel.

Pour la 1: j'etais parti sur de la convergence uniforme sur tout compact, pour la deux j'avais pris g_n sous suite de f_n et pour la 3 je pense que comme on est dans H(C), c'est convergence uniforme sur tout compact.

Mais il est vrai que j'ai du mal a mettre vraiment du sens la dessus.

C'est vraiment pas clair, rien ne colle.

Ce qui est sûr, c'est qu'il faudra utiliser la 2) pour conclure à la 3). D'ailleurs pour la 3), ce n'est pas une convergence uniforme sur tout compact qu'il faut démontrer mais une convergence ponctuelle puisqu'on demande de déterminer la limite.

Pour la 2), il doit manquer des hypothèses sur g_n. ça m'étonnerait qu'elle ait un rapport direct avec f_n. Puisque c'est à partir du 2) qu'on en déduira que la limite est l'exponentielle, dans le 3).

La question 1) me parait vraiment bizarre. Dit tel quel, H est bornée pour la norme sup (vu que H est une partie de l'espace fonctionnel H(C)). Mais H bornée pour la norme sup signifie (en particulier) que chaque norme sup des f_n est bornée, ce qui est absurde.

Tu dis que tu pars de ceci ou cela, mais est-ce que tu sais au moins où tu vas?

Non je ne sais pas du tout justement!!!

J'avais envie d'essayer d'appliquer Montel pour passer de la 2 a la 3 mais sans grande conviction.

Et je suis bien d'accord que c'est bizard le H borné, puisque ca a l'air meme plutot faux sinon, donc je vais chercher dans la preuve du theoreme de Montel.

Plus ca va, plus je pense que c'est bien borné sur tout compact pour la 1:, pour appliquer Montel dans la 3 montrer que f_n est de Cauchy avec TCD et formule de Cauchy et voir que ponctuellement la limite est l'exponentielle.

Le sens de la 2 reste tres mysterieux pour moi

Bonjour.

Je rappelle le sens de H bornée dans :
pour tout compact , il existe une constante telle que pour tout et tout , on a . (en d'autres termes, H est bornée dans muni de la norme sup, pour tout compact)

Pour ce faire, tu peux majorer brutalement en te souvenant qu'un compact est borné.

Pour la question 2), est une suite d'éléments de H ? (et non de g ...)
D'ailleurs, tel quel, ça me parait faux, car si on prend pour tout n (c'est bien une suite de H), on a qui converge vers , mais la dérivée de n'est pas .
Si on suppose que est une sous-suite de , remarquer que l'on a , puisque .
Donc si converge vers g dans , alors elle converge simplement vers g, et donc .
Pour la dérivée, on peut montrer que converge vers 0 ponctuellement, d'où le résultat, puisque converge vers , par continuité de la dérivation dans .

Merci beaucoup,

désolé pour la faute de frappe g_n est bien une suite d'éléments de H. Le résultat de la question 2: me parait aussi faux comme il était énnoncé au départ. Je pense qu'il faut enlever les cas ou la suite est stationnaire a partir d'un certain rang et je pense que ca marche aussi si ce n'est pas une sous suite au sens strict de f_n (j'entend par la quelque chose du genre f_0 f_2 f_1 f_4 f_3 ... qui puisqu'elle converge et n'est pas stationnaire a partir d'un certain rang, comporte des f_n avec n>N pour tout N)

Est ce que mon idée d'utiliser Montel et de montrer que f_n est de Cauchy en utilisant le Théorème de convergence dominée et les formules de Cauchy est bonne?

Merci encore!!

Arkhnor : Ok, je te remercie. Parce pour la définition que tu as donnée, j'avais la terminologie "H est une partie uniformément bornée sur tout compact" (qui est évidemment bien plus explicite). J'imagine qu'on la raccourcie de la sorte....dsl, cette terminologie compactifiée me paraissait assez ambiguë.

cafeadicto> Je n'ai pas fait le calcul explicitement, mais l'idée me paraît correcte. Si tu aboutit avec ça, c'est suffisant.

Foxdevil> La terminologie "H bornée" est tout à fait correcte, ça signifie que H est bornée dans l'espace vectoriel topologique . (la notion de partie bornée a un sens dans un EVT, et comme ici la topologie est définie par une famille de semi-normes, on a un critère agréable pour déterminer si une partie est bornée ou non)

Arkhnor> Je m'excuse pour le temps de réponse. Sinon pour ce qui tu as précisé, je n'en doute pas. Cependant quand on dit "H est bornée" (en tant que partie de ), pour moi ça signifie qu'on norme avec la norme uniforme sur ! (en partie parce que je n'ai vu que ce genre d'exemples dans les espaces fonctionnels normés) ça n'a évidemment aucun sens puisque les fonction holomorphes (pour la grande majorité) ne sont pas bornée sur .
Si tu pouvais me donner un peu plus de précisions sur cet EVT dont la topologie découle d'une famille de semi-normes. C'est une structure que je n'ai pas encore vraiment rencontrée en fait....

Effectivement, on ne munit pas de la topologie de la convergence uniforme.

Si on se donne une famille de semi-normes sur un espace vectoriel E, on peut munir E d'une topologie d'EVT de manière naturelle.
C'est la topologie engendrée par les intersections finies de boules ouvertes pour les semi-normes.
Un EVT dont la topologie est définie par des semi-normes est dit localement convexe.

Pour cette topologie, une suite converge vers si et seulement si tend vers 0, et ce pour tout .

Un exemple assez courant, c'est l'espaces de fonctions continues sur un ouvert de pour la topologie de la convergence uniforme sur les compacts.
Pour chaque compact , on associe une semi-norme sur définie par , et on définit la topologie correspondante sur .

Une suite converge donc vers si et seulement si elle converge uniformément sur tous les compacts

Ici, on peut trouver une famille dénombrable de semi-normes (celles associées à une suite exhaustive de compacts) qui forme une base de semi-normes pour cette topologie. (ça signifie que toute semi-norme définissant la topologie est majorée par une de ces semi-normes, à un facteur multiplicatif près)
Cette suite de semi-normes est en plus croissante, ce qui permet de montrer que la topologie que l'on vient de construire sur est métrisable. (il existe une distance qui définit cette topologie)

Par exemple, si est une suite exhaustive de compacts de (ça signifie que et que les recouvrent , il en existe toujours pour un ouvert de ), alors on peut prendre la distance , qui est en plus invariante par translations.

De plus, pour cette distance, est complet, c'est ce qu'on appelle un espace de Fréchet. (EVT défini par une famille de semi-normes, métrisable et complet)

D'après le théorème de convergence de Weierstrass, est fermé dans , donc est lui-même un espace de Fréchet, pour les mêmes semi-normes.

Dans ce cadre là, on peut définir la notion de partie bornée : c'est une partie qui est bornée pour chaque semi-norme, en un sens évident. (on peut aussi définir la notion de partie bornée dans un EVT quelconque, de manière abstraite)
Le théorème de Montel s'exprime alors en disant que   est un espace de Montel : il est barrelé (je passe là dessus) et tout fermé borné est compact !

Il faut dire que ça éclaircit pas mal de choses.

Merci beaucoup pour la précision Arkhnor .

De rien.
Si tu t'intéresses à ce genre de choses, il y a le livre Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, de F.Trèves.
Parfait pour travailler l'anglais.

Je note...je vais regarder ça quand j'aurais un peu plus de temps....