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Analyse : Limites de suite définies par une intégrale

Posté par
Skops 08-09-07 à 18:00

Bonjour,

5$\fbox{\lim_{n\to +\infty} \int_{0}^\pi \frac{sin(x)}{x+n}=0

Est ce juste ?

J'en ai une autre (2 en fait ) que je n'arrive pas à faire

5$\fbox{\lim_{n\to +\infty} \int_{0}^1 \frac{x^n}{1+x^2}

J'ai essayé d'encadrer mais ca ne marche pas et je ne vois pas d'autre moyen que l'encadrement pour ce genre de limite.

Auriez-vous une piste ?

Merci

Skops

Posté par
ottore : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 18:07

Bonjour,
ta deuxième suite de fonction est toujours plus petite que x^n non ?

Posté par
Skopsre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 18:10

Ma deuxième suite de fonction ?

Skops

Posté par
ottore : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 18:12

Pour la première, je dirais que le théorème de convergence dominée ou même le théorème de convergence monotone s'appliquent.

Mais si on veut s'éviter ça, on a même convergence uniforme n'est-ce pas ?

Posté par
totomathre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 18:13

salut,

Pour le 1) oui (mais de quelle façon tu le montres ??)

pour le 2) même réponse .
si tu connais le théorème de convergence dominée, cela prend deux lignes
sinon tu considères 1 > a > 0 et tu coupes l'intégrale en deux.
La première de 0 à a tend vers 0 (tu peux encadrer facilement)
la deuxième, tu la majores et tu choisis alors a de façon à la rendre aussi petite que tu veux.  

Posté par
ottore : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 18:13

Ma deuxième suite de fonction ?
Oui
1+x^2 > 1 et donc
x^n (1+x^2) > x^n et

x^n > f_n

où f_n=x^n/(1+x^2)

Posté par
Skopsre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 18:18

otto >> Convergence dominé, uniforme... j'ai pas encore vu.

Donc mon intégrale est majoré par x^n ?

Skops

Posté par
ottore : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 18:19

Une intégrale est un nombre, elle ne peut pas être majorée par x^n.
C'est ce qui est dans l'intégrale qui est majoré par x^n.

Posté par
Skopsre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 18:20

D'accord

Skops

Posté par
Skopsre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 18:29

Ensuite j'intègre ?

Skops

Posté par
ottore : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 18:32

Oui bien sur.
Pour la question 1, si tu ne veux pas de gros théorèmes, alors tu peux remarquer que
0<sin(x)<1 (au sens large) sur ton intervalle.
Donc pour n>1 on a

0<f_n(x)<1/(n+x)

On intègre des deux cotés et on trouve
0<Un< ln(Pi+n) - ln(n)

Sauf erreur

Posté par
Skopsre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 18:37

Pour le 1 c'est ce que j'ai fait

Skops

Posté par
Skopsre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 18:38

Et j'ai fait une erreur

5$\fbox{\lim_{n\to%20+\infty}%20\int_{0}^1%20\frac{x^n}{1+x^2}dx

Skops

Posté par
Skopsre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 18:47

Donc on a :

4$x^n\ge \frac{x^n}{1+x^2}

4$\int_0^1 x^n dx\ge \int_0^1\frac{x^n}{1+x^2} dx

4$[\frac{1}{n+1}x^{n+1}]_0^1\ge \int_0^1\frac{x^n}{1+x^2} dx

4$\frac{1}{n+1}\ge \int_0^1\frac{x^n}{1+x^2} dx

Vers 0 alors ? (ca me semble faux...)

Skops

Posté par
Skopsre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 18:48

Ah je vois l'erreur, je corrige

Skops

Posté par derby (invité)re : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 18:50

scusez, je fait un peu de pub :

J'aurais peut être plus de chance avec ce post

Posté par derby (invité)re : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 18:51

Probabilité et échantillonnage

Voilà, avis aux amateurs (ou amatrices hein!...)

Posté par
Skopsre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 18:52

Ah non je ne vois pas en fait

SKops

Posté par
Skopsre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 18:54

derby >> Si personne ne te réponds c'est que soit personne ne s'interesse à ton problème ou personne ne veut t'aider et à voir ton comportement sur les topics des autres membres, je ne me fais aucun doute quant au choix des correcteurs.

Merci de ne plus polluer mon topic avec tes liens

Skops

Posté par
ottore : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 18:58

Qu'est ce qui te semble faux ?

Posté par derby (invité)re : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 18:59

à voir ton comportement sur les topics des autres membres,??????

C'est ma première bévue...depuis des lustres!! (du temps de davidk en fait )

Posté par
Skopsre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 19:03

otto >> Comme x^n est plus grand que 1+x², je pensais que l'intégrale allait tendre vers +oo

Skops

Posté par
ottore : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 19:04

Comme x^n est plus grand que 1+x²
x^n est plus petit que 1 non ?

Posté par
Skopsre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 19:06

Ah oui effectivement vu les bornes de l'intégrale

C'est bon, ca colle alors

Merci

Skops

Posté par
ottore : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 19:08

De rien.
++

Posté par derby (invité)re : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 08-09-07 à 19:14

Et moi, ne suis je qu'une déféquation immonde?

Posté par
Skopsre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 09-09-07 à 08:32

Après avoir cogité, j'ai pas réussi la dernière

5$\fbox{\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{\pi}\frac{nsin(x)}{x+n}

On me donne une indication, c'est de commencer par majorer

5$|\int_{0}^{\pi}(\frac{nsin(x)}{x+n}-sin(x))dx|

J'ai tout mis au même dénominateur

Ca me donne 4$\frac{-xsin(x)}{x+n}

Mais je ne trouve pas le moyen de majorer -xsin(x) (je pense pas qu'il puisse être majoré d'ailleurs)

Sans mettre au même dénominateur, j'ai essayé d'encadrer  et je l'ai encadré entre -1 et 1 (ce qui ne me donne pas grand chose)

Un indice ?

Merci

Skops

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 09-09-07 à 10:06

Bonjour Skops

utilise le fait que: 3$\|\Bigint_a^bf(x)dx\|\le\Bigint_a^b\|f(x)\|dx

Posté par
Skopsre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 09-09-07 à 11:12

et ?

Skops

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 09-09-07 à 11:32

Ben:

3$\|\Bigint_{0}^{\pi}\(\frac{nsin(x)}{x+n}-sin(x)\)dx\|\le\Bigint_{0}^{\pi}\|\frac{nsin(x)}{x+n}-sin(x)\|dx=\Bigint_{0}^{\pi}\|\frac{-xsin(x)}{x+n}\|dx=\Bigint_{0}^{\pi}\frac{xsin(x)}{x+n}dx

On peut dire que: 3$\Bigint_{0}^{\pi}\frac{xsin(x)}{x+n}dx\le\Bigint_{0}^{\pi}\frac{x}{x+n}dx puisque 3$sinx\le 1 sur cet intervalle.

On calcule: 3$\Bigint_{0}^{\pi}\frac{x}{x+n}dx=\Bigint_{0}^{\pi}\frac{x}{x+n}dx=\Bigint_{0}^{\pi}1-n.\frac{1}{x+n}=\[x-n\ln(x+n)\]_{0}^{\pi}=\pi-\ln\(\pi +n)+n\ln(n)

Et voilà on a majoré:

3$\|\Bigint_{0}^{\pi}\(\frac{nsin(x)}{x+n}-sin(x)\)dx\|\le\pi-\ln\(\pi +n)+n\ln(n)

A toi

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 09-09-07 à 11:56

Je t'aide un peu plus

on a: 3$\|\Bigint_{0}^{\pi}\frac{nsin(x)}{x+n}dx\|=\|\Bigint_{0}^{\pi}\frac{nsin(x)}{x+n}dx-\Bigint_{0}^{\pi}sin(x)dx+\Bigint_{0}^{\pi}sin(x)dx\|

donc: 3$\|\Bigint_{0}^{\pi}\frac{nsin(x)}{x+n}dx\|\le\|\Bigint_{0}^{\pi}\frac{nsin(x)}{x+n}dx-\Bigint_{0}^{\pi}sin(x)dx\|+\|\Bigint_{0}^{\pi}sin(x)dx\|

C'est à dire: 3$\|\Bigint_{0}^{\pi}\frac{nsin(x)}{x+n}dx\|\le\|\Bigint_{0}^{\pi}\frac{nsin(x)}{x+n}dx-sin(x)dx\|+\|\Bigint_{0}^{\pi}sin(x)dx\|

Or: 3$\|\Bigint_{0}^{\pi}\(\frac{nsin(x)}{x+n}-sin(x)\)dx\|\le\pi-\ln\(\pi%20+n)+n\ln(n)

et: 3$\|\Bigint_{0}^{\pi}sin(x)dx\|=2

Donc: 3$\|\Bigint_{0}^{\pi}\frac{nsin(x)}{x+n}dx\|\le\pi+2-\ln\(\pi%20+n)+n\ln(n)

Or: 3$\lim_{n\to +\infty}\pi+2-\ln\(\pi%20+n\)+n\ln(n)=\lim_{n\to +\infty}\pi+2-n\(\ln(n)+\frac{\ln(\pi +n)}{n}\)=+\infty

Donc: 3$\blue\fbox{\lim_{n\to +\infty}\Bigint_{0}^{\pi}\frac{nsin(x)}{x+n}dx)=+\infty}

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 09-09-07 à 12:03

La dernière ligne c'est:

3$\lim_{n\to%20+\infty}\pi+2-\ln\(\pi%20+n\)+n\ln(n)=\lim_{n\to%20+\infty}\pi+2+n\(\ln(n)-\frac{\ln(\pi%20+n)}{n}\)=+\infty

Posté par
lyonnaisre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 09-09-07 à 12:11

Bonjour morow

A mon avis il faut reprendre les calculs. Si l'indication est de partir de :

5$|\int_{0}^{\pi}(\frac{nsin(x)}{x+n}-sin(x))dx|

Cela veut dire qu'il faut essayer de majorer par un truc qui tend vers 0. Comme ça, le résultat de l'intégrale cherché vaudra l'intégrale de 0 à pi de sin(x) dx, soit 2.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 09-09-07 à 12:12

Salut Romain

oui c'est fort probable que j'ai fait une erreur de calcul

Posté par
lyonnaisre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 09-09-07 à 12:25

Oui donc en reprenant les calculs :

C'est parce que tu as oubliez un " n " devant le ln(pi+n)

En fait :

3$\rm \Bigint_{0}^{\pi} \frac{x}{x+n} dx = \pi - n\Bigint_{0}^{\pi} \frac{1}{x+n} = \pi - n.ln(1+\frac{\pi}{n})

et :

ln(1+\frac{\pi}{n}) \sim \frac{\pi}{n}   quand n tend vers +oo ... ^^

C'est Gagné !

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 09-09-07 à 12:28

Ah oui

un petit "n" qui se baladait dehors

merci Romain

Posté par
lyonnaisre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 09-09-07 à 12:31

De rien

Bon courage pour ta rentrée et on se voit les week-ends !

Je me remet au boulot

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Analyse : Limites de suite définies par une intégrale 09-09-07 à 12:33

Merci

Bonne chance à toi aussi


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