Bonsoir , j'ai un bon exercice d'analyse qui mérite réflexion ! :
Soient a,b,c,d des nombres réels avec a différent de 0 . On considère la fonction polynome , x appartient à R : f(x) ax³+bx²+cx+d .
1) Etudier les limites de f , quand f tend vers + l'infini et quand f tend vers - l'infini . En déduire que la fonction f s'annule au moins une fois sur R .
Ma réponse : quand x tend vers l'infini , si a>0 f tend vers l'infini , si a<0 f tend vers - l'infini . Quand x tend vers - l'infini c'est l'inverse vu que la fonction est impaire .
Comme la fonction est continue et qu'il existe un nombre a tel que f(a) < 0 et un nombre b tel que f(b) > 0 , alors il existe un nombre c tel que f(c) = 0 , donc f s'annule au moins une fois . ( th des valeurs intermédiaires ) .
2)Calculer la dérivée de f . Que représente la quantité b² - 3ac ?
f' = 3ax² + 2bx + x
alors pour retrouver b²-3ac je voulais faire comme pour les second degrés et factoriser par a :
a(3x² + 2bx/a + c/a) mais après c'est la misère je vois pas par quelle technique factoriser , quelqu'un connait la bonne technique ?
merci de votre aide .
Bonsoir.
f '(x) = 3ax² + 2bx + c.
Le discriminant de f '(x) est : = 4b² - 12ac = 4(b² - 3ac).
C'est son signe qui te dira si l'équation f ' (x) = 0 admet des solutions réelles ou non.
Il me semble que la conclusion
erreurs de balises ...
Il me semble que la conclusion
Bonjour.
Je ne comprends pas ce qui te gène. Je redétaille :
f '(x) = 3ax² + 2bx + c.
du type : Ax² + Bx + C, avec A = 3a, B = 2b, C = c
= B² - 4.A.C = (2b)² - 4.(3a).c = 4b² - 12ac = 4(b² - 3ac)
excuse moi raymond j'étais partie dans un délire pas possible à essayer de trouver le discriminant par factorisation de a comme pour le second degré si tu vois ce que je veux dire lol , je continue l'exercice il est bientot fini
alors raymond oui j'ai plus que des questions sur ce discriminant , donc si le discriminant est égal à 0 je dois montrer que f s'annule une fois sur R , voici ma réponse :
si le discriminant est égal à 0 , la racine de la dérivée est -b/3a , donc la dérivée s'annule pour au point -b/3a , donc f est croissante et décroissante de l'un ou l'autre coté ( je saurai pas dire lequel ) , donc f forcément s'annule sur R .
que pensais vous de la justification ? ça me fait penser un peu à Rolle
Dans la question 2°), on te demande simplement ce que représente b² - 3ac.
Tu réponds que c'est le discriminant réduit de l'équation f '(x) = 0.
Pour répondre à d'autres questions, il faut que tu nous les écrives.
oui la question c'est :
1) on suppose que discriminant = 0 . Montrer que f s'annule exactement une fois sur R .
si le discriminant est égal à 0 , la racine de la dérivée est -b/3a , donc la dérivée s'annule pour au point -b/3a , donc f est croissante et décroissante de l'un ou l'autre coté ( je saurai pas dire lequel ) , donc f forcément s'annule sur R du fait de sa continuité , mais c'est mal rédigé je crois.
2) on suppose que discriminant négatif , montrer que f s'annule une fois sur R avec tableau de variation et par l'absurde .
Alors là je dois avouer que je comprends pas car comment tracer le tableau de variations , si le discriminant est négatif il peut pas yavoir de racine réelle , on aurait :
-2b - bV(-3ac)/6a et -2b + bV(-3ac)/6a , ça ne rime à rien...
Si le discriminant est nul, cela signifie que le polynôme f '(x) a une racine unique x0.
Alors, f '(x) = 3a(x - x0)².
Donc, f ' s'annule une fois en x0, mais sans changer de signe : elle garde le signe de a.
Si a > 0 f est croissante, Si a < 0 f est décroissante.
Facile : f '(x) ne s'annule jamais, donc, garde toujours le signe de a.
En fait, tu es en train d'utiliser ce que l'on appelle en première : "le signe du trinôme".
Je t'en rappelle le principe.
Soit P(x) = ax² + bx + c un trinôme du second degré (donc a 0).
Son dicriminant est = b² - 4ac.
¤ Si < 0.
alors, pour tout x, P(x) est du signe de a.
¤ Si = 0.
alors, P(x) = a(x - x0)² où x0 = -(b/a) désigne l'unique racine. Donc, P(x) s'ammule en x0, mais garde le signe de a puisqu'un carré est toujours positif.
¤ Si > 0.
alors, P(x) a deux racines distinctes : x' et x". Dans ce cas, P(x) est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire de a entre les racines. En clair, en supposant x' < x" :
x < x' ou x > x" => P(x) du signe de a
x' < x < x" => P(x) du signe contraire de a.
oui ça je le connais par coeur mais ici c'est un polynime de degré 3 , toi tu parles de degré 2 qui est la dérivée mais la question concerne f et non f'... , et la question c'est :
si discriminant < 0 montrer que f s'annule 1 fois sur R en étudiant le tableau de variations de f .
ben finalement j'ai une réponse à te proposer raymond : comme le discriminant est négatif , la dérivée sera du signe de a , donc soit croissante soit décroissante , donc logiquement f s'annulera juste une fois sur R , qu'en penses tu ?
Je ne me suis pas trompé en parlant du second degré : il s'agit bien d'étudier le signe de la dérivée f ' pour connaître les variations de f.
Ta conclusion est la bonne.
Je t'adresse trois dessins de la fonction f, (en supposant a > 0) suivant le signe de la dérivée.
merci bien raymond , j'aurais aimé savoir prouvé ça par l'absurde mais j'ai pas réussi , encore merci bcp de ton aide et tes explications très détaillés .
raymond une petite question très importante : est ce que pour le discriminant positif ya un rapport avec le théorème de rolle ?
merci
Non, le théoréme de Rolle impose à f de s'annuler en deux points a et b. Dans ce cas, tu peux affirmer qu'il existe c tel que a < c < b et f '(c) = 0.
Le dernier dessin que je t'ai envoyé montre une fonction du troisième degré dont la dérivée a un discriminant strictement positif, donc, la dérivée possède deux racines distinctes (ici, -1 et 1). Pourtant, cette fonction ne s'annule qu'une seule fois (vers -2).
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