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Annales Centres Etrangers I, 1993 -- Suites

Posté par Sirius (invité) 10-04-05 à 20:05

Bonjour,

Aujourd'hui, je me trouve confronter à un problème de suite !

Voici l'énoncé :

a)
Soit rn la suite géométrique réelle de terme r0 strictement positif et de raison 2/3. Exprimer rn en fonction de r0 et n.

b)
Soit Pn la suite arithmétique réelle de terme P0 appartenant à l'intervalle [0;PI/2] et de raison 2/3PI. Exprimer rn en fonction de P0 et n.

c)
Pour tout entier naturel n, on pose zn = rn (cosPn + isinPn)
Sachant que zo, z1, z2 sont liés par la relation z0z1z2 = 8, déterminer le module et un argument de z0, z1 et z2.

Je suis arrivé à faire le a et le b, mais je ne suis pas arrivé à faire le c. J'ai essayer de remplacer z0, z1, z2 dans l'équation z0z1z2 = 8 par la forme zn = rn (cosPn + isinPn)mais je n'ai rien trouvé !

Si quelqu'un pouvait m'aider !

Merci d'avance !

Posté par jayrhum (invité)re : Annales Centres Etrangers I, 1993 -- Suites 10-04-05 à 20:18

Salut,

Utilise plutôt zn = rnei*Pn pour avancer dans tes calculs.

z0*z1*z2 = r0*r1*r2*ei*(P0+P1+P2)

Et avec les questions a) et b) tu sais exprimer r1 et r2 en fonction de r0 et P2, P1 en fonction de P0.

Bon courage.

Posté par
muriel Correcteurre : Annales Centres Etrangers I, 1993 -- Suites 10-04-05 à 20:26

bonsoir ,
pour que l'on sois d'accord voilà les réponses du a et b:
r_n=r_0(\frac{2}{3})^n
et
p_n=p_0+\frac{2n}{3}\pi

c.
en effet, il faut voir ce que fait le module de z_0z_1z_2
z_0=r_0(cos(p_0)+isin(p_0))
z_1=r_0\frac{2}{3}(cos(p_0+\frac{2}{3}\pi)+isin(p_0+\frac{2}{3}\pi))
z_2=r_0(\frac{2}{3})^2(cos(p_0+\frac{4}{3}\pi)+isin(p_0+\frac{4}{3}\pi))
|z_0z_1z_2|=r_0^3(\frac{2}{3})^3=8
or 8=2^3
donc r_0\frac{2}{3}=2
c'est à dire r_0=3
tu peux donc trouver maintenant |z_0|, |z_1| et |z_2|

pour l'argument, je te conseilles de le mettre sous forme exponentielle:
3$z_0=r_0e^{p_0}
3$z_1=r_0\frac{2}{3}e^{p_0+\frac{2}{3}\pi}
3$z_2=r_0(\frac{2}{3})^2e^{p_0+\frac{4}{3}\pi}
d'où 3$z_0z_1z_2=r_0^3(\frac{2}{3})^3e^{3p_0}=8
ainsi un argument de z_0z_1z_2 est ... (donnes deux solution, une avec p_0 et l'autre sans)
tu arriveras ainsi au résultat

à toi de jouer

Posté par
muriel Correcteurre : Annales Centres Etrangers I, 1993 -- Suites 10-04-05 à 20:27

désolée jayrhum
je n'avais pas vu ton message

Posté par
H_aldnoerre : Annales Centres Etrangers I, 1993 -- Suites 10-04-05 à 20:28


slt

tu devré allé voir ici :
nombre complexes et suites!


@+ _ aldo_

Posté par minotaure (invité)re : Annales Centres Etrangers I, 1993 -- Suites 10-04-05 à 20:30

salut : zn = rn (cosPn + isinPn).

par definition |zn|=rn.

rn etant une suite goemetrique de raison 2/3 et de premier terme r0
on a r1=2*r0/3 et r2=r0*(2/3)²
concluision |z0|=r0 |z1|=2*r0/3 |z2|=r0*(2/3)²

on a z0*z1*z2=8
en passant aux modules on a :

|z0|*|z1|*|z2|=8
donc r0^3 * (2/3)^3 = 8
donc r0^3=27
donc comme r0 reel positif on a r0=3
donc r0=3 r1=2 r2=4/3

pour les arguments, on fera le meme raisonnement :
Arg(z0)=P0
Arg(z1)=P1=P0+2Pi/3
Arg(z2)=P2=P0+4*Pi/3

or Arg(z0)+Arg(z1)+Arg(z2)=0 [2Pi] ( car z0*z1*z2=8)

ce qui fait :
3*P(0) +2Pi = 0 [2Pi]
donc 3*P(0)=0 [2pi]
donc P(0)=0
P(1)=2*Pi/3 et P(2)=4pi/3

Posté par
H_aldnoerre : Annales Centres Etrangers I, 1993 -- Suites 10-04-05 à 20:31

re


oups ... muriel a deja repondu ... mais etant donné que cété un exos deja posté ... si les indications de muriel et de jayrhum ne suffisent pas ... tu trouvera des informations complementaires sur le lien que j'ai mis Sirius ...



@+ sur l'ile _aldo_

Posté par Sirius (invité)Merci 10-04-05 à 20:31

Merci pour vos réponses nombreuses et complètes

Posté par
muriel Correcteurre : Annales Centres Etrangers I, 1993 -- Suites 10-04-05 à 20:33

de rien
mais la prochaine fois, essaies d'utiliser le navigateur de recherche avant de poster cela évitera de focaliser des personnes pour rien vu que les explications étaient déjà postés

Posté par jayrhum (invité)re : Annales Centres Etrangers I, 1993 -- Suites 10-04-05 à 20:35

Poster un exo un dimanche soir sur le forum, c'est un peu comme jeter un os à une horde de loups affamés...

PS: muriel, ne t'excuses pas. Il n'y a pas de quoi.

Posté par
muriel Correcteurre : Annales Centres Etrangers I, 1993 -- Suites 10-04-05 à 20:40

Poster un exo un dimanche soir sur le forum, c'est un peu comme jeter un os à une horde de loups affamés...
entièrement d'accord avec toi

ne t'excuses pas. Il n'y a pas de quoi
merci

Posté par
H_aldnoerre : Annales Centres Etrangers I, 1993 -- Suites 10-04-05 à 20:48

re


en voila encore un qui a lu la F.A.Q concernant le forum ...



@+ sur l'ile _aldo_

Posté par Sirius (invité)re : Annales Centres Etrangers I, 1993 -- Suites 10-04-05 à 21:20

"mais la prochaine fois, essaies d'utiliser le navigateur de recherche avant de poster cela évitera de focaliser des personnes pour rien vu que les explications étaient déjà postés"

Toutes mes excuses ! J'avais recherché, mais sans rien trouvé

Posté par
muriel Correcteurre : Annales Centres Etrangers I, 1993 -- Suites 10-04-05 à 21:27

c'est vrai qu'il faut chercher dans différents sujets
ici, par exemple: complexe ou suites

mais bon, cela fait rien
à la prochaine


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