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Posté par
Dreamyy 26-10-18 à 21:54

Bonsoir,

Je galère à commencer un exercice car je ne comprends pas trop l'énoncé :

Le voici :

Citation :
Pour m *, on note \mathbb{U}_{m} l'ensemble des racines m-ièmes de l'unité.

Soit n \in \mathbb{N}^{*}.
Le but du problème est l'étude de l'existence d'une application f : \mathbb{U}_{2n} \rightarrow \mathbb{U}_{2n} vérifiant la condition (C) :

                                                                           \forall z \in \mathbb{U}_{2n},\; \; f(f(z))=z²\; \; \; \; \; \; (C).

1. Montrer que l'on a :  { {z²/z\in \mathbb{U}_{2n} }  et  { z²/z\in \mathbb{U}_{2n}} \mathbb{U}_{2n}

Le problème c'est que je ne comprends pas le z²/z, c'est la barre de la division ?

Posté par
Jezebethre : Application 26-10-18 à 21:56

Bonsoir

Non, il y a fort à parier que cela signifie "tel que". C'est l'ensemble des z^2 tels que z \in U_{2n}.

P.-S. : les deux ensembles sont les mêmes...

Posté par
jsvdbre : Application 26-10-18 à 21:58

Bonsoir Dreamyy.
Non c'est la barre qui signifie "tels que".

\{z²/z\in \mathbb{U}_{2n}\} se lit "l'ensemble des z^2 tels que z \in \U_{2n}"

Posté par
carpediemre : Application 26-10-18 à 21:59

salut

pourquoi passe-t-on de m à n ?

et pourquoi numéroter la question s'il n'y en a qu'une ?

donc pourquoi ne pas nous écrire l'énoncé en entier ?

Posté par
Dreamyyre : Application 26-10-18 à 22:02

Ah c'est tel que, le "   |  ".
Aucune idée c'est ce qu'il y a écrit sur l'énoncé.
Merci à vous 2


carpediem L'énoncé est assez long et je n'ai même pas commencé le sujet car je buggais sur ce symbole donc je vais essayer de continuer seul et si je rencontre des difficultés j'écrirais la suite

Mais pour la 1, je vais raisonner par double inclusion. remplacer z² par le fait qu'il s'agit des racines de l'unité.
Je vous tiens au courant. Mais merci encore pour vos réponses par rapport à l'énoncé

Posté par
matheuxmatoure : Application 26-10-18 à 22:56

je ne vois qu'une inclusion dans ta question... et une partie inutile dont on se demande ce qu'elle fait là ...

Posté par
matheuxmatoure : Application 26-10-18 à 22:57

pardon... bonsoir à tous !

Posté par
Dreamyyre : Application 26-10-18 à 23:04

Mince j'ai oublié quelque chose dans l'énoncé !!! Merci matheuxmatou

1. Montrer que l'on a :  { {z²/z\in \mathbb{U}_{2n} }  = \mathbb{U}_{n}  et  { z²/z\in \mathbb{U}_{2n}} \mathbb{U}_{2n}

Je parlais de l'égalité. C'est 2 ensembles donc on peut raisonner par double inclusions.

Posté par
Jezebethre : Application 26-10-18 à 23:04

On peut. Lancez-vous !

Posté par
jsvdbre : Application 27-10-18 à 00:00

Le problème pour n = 1 a une solution : f(1) = 1 et f(-1) = 1.

Le problème pour n = 2 n'a pas de solution : (c'est un jeu de piste de type graphe)

f(i) = 1 impliquerait f(1) = -1 impliquerait f(-1) = 1 impliquerait f(f(-1)) = -1 (-1)²

f(i) = -i impliquerait f(-i) = -1 impliquerait f(-1) = -1 impliquerait f(f(-1)) = -1 (-1)²

f(i) = i impliquerait f(f(i)) = i i²

f(i) = -1 impliquerait f(-1) = -1 impliquerait f(f(-1)) = -1   (-1)²

Posté par
Dreamyyre : Application 27-10-18 à 00:02

Question 1 :

Soit E =  { {z²/z\in \mathbb{U}_{2n} }

Soit Z E, alors Z = z² = (e^{\frac{2ik\pi}{2n}})² = e^{\frac{2ik\pi}{n}} avec  0 k 2n-1

donc  Z   \mathbb{U}_{n} et E \mathbb{U}_{n}

Réciproquement si Z \mathbb{U}_{n}, Z = e^{\frac{2ik\pi}{n}} = e^{\frac{2i(2k)\pi}{2n}}, avec 0 kn-1 2n-1 donc Z E, \mathbb{U}_{n} \mathbb{U}_{2n}

Mais pour montrer { z²/z\in \mathbb{U}_{2n}} \mathbb{U}_{2n} je ne vois pas trpo

Posté par
Dreamyyre : Application 27-10-18 à 00:05

jsvdbJ'avouerais que tu m'as un peu perdu ^^'

Posté par
jsvdbre : Application 27-10-18 à 00:10

Dreamyy @ 27-10-2018 à 00:02

Mais pour montrer { z²/z\in \mathbb{U}_{2n}} \mathbb{U}_{2n} je ne vois pas trop


Si z\in \mathbb{U}_{2n} alors z = \exp(\frac{i(2k)\pi}{2n})=\exp(\frac{ik\pi}{n}) pour un certain k \in \Z

Donc z^2 = \exp(\frac{i(2k)\pi}{n}) \in \mathbb{U}_{2n} puisque 2k\in \Z

Posté par
jsvdbre : Application 27-10-18 à 00:14

Dreamyy @ 27-10-2018 à 00:05

jsvdbJ'avouerais que tu m'as un peu perdu ^^'

J'ai simplement cherché si dans U_4, le problème avait une solution.
Autrement dit, j'ai cherché s'il existait f : U_4 \rightarrow U_4 telle que \forall \omega \in U_4,~f(f(\omega)) = \omega^2

Rappel : U_4 = \{1;-1;i;-i\}

Posté par
Dreamyyre : Application 27-10-18 à 00:21

Ah oui d'accord merci bcp !! jsvdb
et merci pour la 2ème inclusion :p

Posté par
Dreamyyre : Application 27-10-18 à 00:21

C'était tout bête ^^

Posté par
matheuxmatoure : Application 27-10-18 à 00:25

je ne vois pas pourquoi tu t'embêtes avec les écritures en exponentielles complexes !

si Z=z² avec zU2n
cela veut dire que z2n=1 et donc Zn=1 donc ZUn

réciproquement, si ZUn
soit z une racine carrée de Z
Z=z² avec z2n=Zn=1
donc avec zU2n
et donc ZE

Posté par
matheuxmatoure : Application 27-10-18 à 00:29

et pour l'autre inclusion c'est trivial avec ce qui vient d'être montré !!!!

UnU2n

si un nombre à la puissance n vaut 1, le carré de sa puissance n vaut 1 a fortiori

Posté par
jsvdbre : Application 27-10-18 à 00:30

jsvdb @ 27-10-2018 à 00:10

Donc z^2 = \exp(\frac{i(2k)\pi}{n}) \in \mathbb{U}_{2n} puisque 2k\in \Z

et en plus tu fais d'une pierre deux coups :

- tu montres à la fois ceci \blue \{z²/z\in \mathbb{U}_{2n}\}=\mathbb{U}_{n}  et ceci \blue \{z²/z\in \mathbb{U}_{2n}\}\subset \mathbb{U}_{2n}

Posté par
Dreamyyre : Application 27-10-18 à 00:33

Exact merci matheuxmatou,

j'aurais juste une question un peu bête je pense :

Comment (jsvdb) calcules-tu  f(i) = 1 ?

Nous avons f(f(z)) mais pas f(z). J'ai l'impression que je suis stupide en posant cette question ^^'

Enfin pour f(i), i joue le rôle de f(z)

Posté par
matheuxmatoure : Application 27-10-18 à 00:33

j'en reviens à ce que j'ai dit... pourquoi vous compliquez la vie avec les exponentielles complexes...

Posté par
matheuxmatoure : Application 27-10-18 à 00:40

je ne connais pas la suite des questions mais rien ne dit dans l'énoncé que l'application f dont on se pose la question de l'existence doit être bijective.

Posté par
Dreamyyre : Application 27-10-18 à 00:50

2. On suppose dans cette question qu'il existe une application f : \mathbb{U}_{2n} \mathbb{U}_{2n} vérifiant C.

(a) Montrer que : \forall z \in \mathbb{U}_{2n}, f(z²)=f((z))²
FAIT
(b) Montrer que : \forall (z,z') \in (\mathbb{U}_{2n})², f(z) = f(z') \Rightarrow z = \pm z'.
C'est montrer que f est injective non ?

(c) Montrer que :  f(1) = f(-1) = 1

3. Discuter suivant les valeurs de n\in \mathbb{N}^{*}, l'existence d'un z \in\mathbb{U}_{2n} vérifiant : z² = -1. DAns ce cas, montrer qu'il n'existe pas d'application f : \mathbb{U}_{2n} \rightarrow \mathbb{U}_{2n} vérifiant (C)

Posté par
Dreamyyre : Application 27-10-18 à 00:51

matheuxmatou @ 27-10-2018 à 00:40

je ne connais pas la suite des questions mais rien ne dit dans l'énoncé que l'application f dont on se pose la question de l'existence doit être bijective.


donc calculer f(i) n'est pas possible tout de suite ? enfin sans avoir d'infos supplémentaires ?

Posté par
jsvdbre : Application 27-10-18 à 01:13

Dreamyy @ 27-10-2018 à 00:50

2. (b) Montrer que : \forall (z,z') \in (\mathbb{U}_{2n})², f(z) = f(z') \Rightarrow z = \pm z'.
C'est montrer que f est injective non ?

Non ! C'est pas ça l'injectivité.

En revanche f(z) = f(z') \Rightarrow f(f(z)) = f(f(z')) \Rightarrow z^2 = z'^2 \Rightarrow z = \pm z'

Posté par
jsvdbre : Application 27-10-18 à 01:13

L'injectivité c'est f(z) = f(z') \Rightarrow z = z'

Posté par
jsvdbre : Application 27-10-18 à 01:21

2 (c) - Il résulte de 2(a) que f(1) = f(1^2) = f(1)^2.
Or l'équation z = z^2 admet deux solutions qui sont 0 et 1. Donc f(1) = 1 puisqu'on est sur le cercle unité.

Par ailleurs f(1) = f((-1)^2)=f(-1)^2 donc f(-1)^2 = 1.

Ce qui implique nécessairement f(-1) = 1 sous peine de tolérer f(f(-1)) = -1

Posté par
Dreamyyre : Application 27-10-18 à 01:32

Merci pour ton aide jsvdb. Ce que je ne comprends pas c'est cette application ...
on a f(f(z)) = z².  

Pourquoi avons-nous z = z² ?

Et surtout,  pourquoi f(-1)² = 1 ?

Je ne sais pas si tu comprends ma question :/

Posté par
jsvdbre : Application 27-10-18 à 01:38

Dreamyy @ 27-10-2018 à 01:32

Pourquoi avons-nous z = z² ?

Je ne dis pas que z = z^2, je dis que dans \C, l'équation z = z^2 admet deux solutions.


Dreamyy @ 27-10-2018 à 01:32

Et surtout,  pourquoi f(-1)² = 1 ?

J'ai montré que f(1) = 1.
Tu as montré à la question 2a que f(z^2) = (f(z))^2 donc pour z = -1 on a 1=f(1)= f((-1)^2)= f(-1)^2

Posté par
Dreamyyre : Application 27-10-18 à 01:44

Ah ouii d'accord merci bcp !!!!!

Un génie :p

Je vais aller me coucher je continuerai demain merci encore et bonne soirée jsvdb

Posté par
Dreamyyre : Application 27-10-18 à 01:47

J'ai répondu trop vite x),

Citation :
J'ai montré que f(1) = 1


C'est ici que je ne comprends pas.

Citation :
2 (c) - Il résulte de 2(a) que f(1) = f(1^2) = f(1)^2.
Or l'équation z = z^2 admet deux solutions qui sont 0 et 1. Donc f(1) = 1 puisqu'on est sur le cercle unité.


Je ne comprends pas en quoi le fait que l'équation z = z² admette 2 solutions puissent nous permettre de dire que f(1)=1. C'est surtout le f qui me dérange.

Ca doit être qq chose de trivial mais là je bug et je ne sais pas trop pourquoi

Posté par
jsvdbre : Application 27-10-18 à 01:51

Moi je sais pourquoi : tu es fatigué.

Si f(1) vérifie f(1) = f(1^2) = f(1)^2 alors alors forcément f(1)^2 - f(1) = 0 donc f(1)(f(1) - 1) = 0.

D'où f(1) = 0 ou f(1) = 1. Mais comme f(1) est sur un cercle unité, alors f(1) = 1

Posté par
Jezebethre : Application 27-10-18 à 01:51

f(1)=f(1)^2 donc f(1) est solution non nulle de z=z^2... C'est 1.

Posté par
Dreamyyre : Application 27-10-18 à 02:00

Ahhhhhhhhhhh, je suis bête !! et sûrement fatigué !! merciiii infiniement. Je reprendrais tout ça de bon matin car là je pense que je ne vais que poser des questions stupides.

Merci à vous.

Bonne soirée ^^

Posté par
jsvdbre : Application 27-10-18 à 11:59

Pour la 3.
Si n = 2k alors i est racine 2n ème de l'unité.
Du coup f(f(i)) = -1

On vérifie assez aisément qu'aucune des racines 2n ème de l'unité ne convient pour f(i).

Posté par
carpediemre : Application 27-10-18 à 12:33

salut
il est triste de ne pas (savoir) revenir aux fondamentaux (de collège) : tout mettre dans un membre et factoriser !!!

z \in U_{2n} \iff z^{2n} = 1 \iff z^{2n} - 1 = 0 \iff (z^n - 1)(z^n + 1) = 0 \iff z^n = 1

donc \{z^2  /  z \in U_{2n} \}= U_n

et trivialement z^{2n} = 1 \iff (z^2)^n = 1 => [(z^2)^n]^2 = 1^2 = 1

donc \{z^2  /  z \in U_{2n} \} \subset U_{2n}


\exists f  /  f[f(z)] = z^2

f[f(z)] = z^2 => f[f(f(z))] = [f(z)]^2 \iff f(z^2) = [f(z)]^2


f(x) = f(y) => f[f(x)] = f[f(y)] \iff x^2 = y^2 \iff (x - y)(x + y) = 0 \iff x = \pm y


f[1^2] = f(1) = [f(1)]^2 \iff f(1)[f(1) - 1] = 0 \iff f(1) = 0 $ ou $ f(1) = 1  or   1 \in U_{2n}  ou  0 \notin U_{2n}

f[(-1)^2] = f(1) = 1 = [f(-1)]^2 => [f(-1) - 1][f(-1) + 1]= 0 \iff f(-1) = 1 $ ou $ f(-1) = -1

or f(-1) = -1 => f[f(-1)] = f(-1) = (-1)^2 = 1 ce qui est absurde donc f(-1) = f(1) = 1

...

Posté par
carpediemre : Application 27-10-18 à 12:37

n = 2k => z^{4k} - 1 = 0 \iff (z^{2k} - 1)(z^{2k} + 1) = 0 \iff (z^k - 1)(z^k + 1)(z^k - i)(z^k + i) = 0

...

Posté par
Dreamyyre : Application 27-10-18 à 13:11

Merci carpediem !

Posté par
Dreamyyre : Application 27-10-18 à 13:52

Pour montrer que : \forall z \in \mathbb{U}_{2n}, f(z²)=(f(z))²

J'ai fait :

\large f(z²) = f(f\circ f(z))= f\circ f(f(z)) = (f(z))²
                                                                                 ici
Mais je ne suis pas convaincu par rapport au membre de gauche de la dernière égalité

Posté par
carpediemre : Application 27-10-18 à 14:01

voir ce que j'ai écrit ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Application 27-10-18 à 15:04

Bonjour,
@Dreamyy,
Pour te convaincre de ce que tu as écrit à 13h52 :
Avec z dans U2n et Z = f(z) , on a f(f(Z)) = Z2 car Z est dans U2n .
Autrement dit f(f(f(z))) = f(z)2

L'énoncé de 2)a) était sans doute mal écrit : \forall z \in \mathbb{U}_{2n}, f(z²)=f((z))²
Dans le second membre c'est (f(z))2 ?

@carpediem,
Je ne comprends pas bien ceci dans le début de ton message de 12h33 :

(z^n - 1)(z^n + 1) = 0 \iff z^n = 1

Posté par
carpediemre : Application 27-10-18 à 15:40

je me suis effectivement mélangé les pinceaux ...

z \in U_{2n} \iff z^{2n} = 1 \iff (z^2)^n = 1 \iff z^2 \in U_n

Posté par
Dreamyyre : Application 27-10-18 à 18:14

Ah oui bien vu carpediem, je n'avais vu le message 😅 merci à toi aussi Sylvieg et exact c'etait Bien (f(z))2


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