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Application complexe et conique

Posté par
Nightmare 26-09-07 à 15:00

Bonjour

Juste une question dont la réponse me semble bizarre.

On a l'application 3$\rm f : \mathbb{C}*\to \mathbb{C} définie par 3$\rm f(z)=\frac{1}{2}\(z+\frac{1}{z}\)

On nous demande l'image du cercle de rayon R par f. (avec R positif).

Je pose 3$\rm z=Re^{i\theta} un élément du cercle.
On voit après quelques calculs que 3$\rm f(z)=\frac{1}{2}\(R+\frac{1}{R}\)cos\theta+i\times \frac{1}{2}\(R-\frac{1}{R}\)sin\theta.

L'image du cercle est donc paramétrée par 3$\rm \{{x=\frac{1}{2}\(R+\frac{1}{R}\)cos\theta\\y=\frac{1}{2}\(R-\frac{1}{R}\)sin\theta

Ainsi pour R=1 on a un cercle et sinon on a une ellipse.

Or on nous dit ensuite "On trouvera en général une conique dont en précisera les foyers"

Le en général me dérange car dans tout les cas je trouve une conique, sauf évidement en R=0 où l'image est vide... Le "en général" veut-il simplement dire qu'on exclut le cas R=0?

Merci à vous


Jord

Posté par
Camélia Correcteurre : Application complexe et conique 26-09-07 à 15:32

Bonjour Jord

Pour R=1, ce n'est pas un cercle! (si tes calculs, que je n'ai pas refait sont justes, mais je n'en doute pas).

Posté par
Dremire : Application complexe et conique 26-09-07 à 15:34

en général signifie sauf pour R=1 où l'image du cercle est le segment [-1;1]\times \{0\}.

Posté par
Nightmarere : Application complexe et conique 26-09-07 à 15:36

Je suis bète... Merci à vous deux

Posté par
Camélia Correcteurre : Application complexe et conique 26-09-07 à 15:39

Mais non, mais non... ça arrive!

Posté par
Dremire : Application complexe et conique 26-09-07 à 15:40

Sinon les autres cas correspondent effectivement à une ellipse.

Posté par
Dremire : Application complexe et conique 26-09-07 à 15:45

une vraie ellipse qui n'est jamais un cercle.

Posté par
raymond CorrecteurApplication complexe et conique 26-09-07 à 16:22

Bonjour.

Si R > 0 est différent de 1, ce sont effectivement des ellipses homofocales dont les foyers ont pour affixes -1 et +1.

A plus RR.


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