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Niveau école ingénieur
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Application de classe C¹

Posté par
gfc03
17-02-23 à 09:47

Soit a un nombre réel et f : [a,+∞[→ℝ une application
de classe C¹.
1. Montrer que si  \lim_{x \rightarrow+\infty }f'(x)=+\infty
, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 \lim_{x \rightarrow+\infty }f(x)=+\infty
.
2. Que peut-on dire de l'hypothèse  \lim_{x \rightarrow-\infty }f'(x)=-\infty ?

On suppose à présent que pour tout x ∈ [a,+∞[, f(x) est strictement positif.
3. Soit g: [a,+∞[→ℝ une application de classe C¹ telle que :\lim_{x \rightarrow+\infty }\frac{g(x)}{f(x)}=0
𝑒𝑡 que \int_{a}^{+\infty }{f(x)dx} diverge

Montrer que \lim_{x \rightarrow+\infty }\frac{ \int_{a}^{+\infty }{g(x)dx}}{ \int_{a}^{+\infty }{f(x)dx}}=0

Posté par
gfc03
re : Application de classe C¹ 17-02-23 à 09:49

Bonjour je suis bloqué sur cet exercice
aidez s'il vous plaît

Posté par
carpediem
re : Application de classe C¹ 17-02-23 à 11:31

salut

et alors ? qu'as-tu fait ?

la première question est (assez) immédiate en traduisant l'hypothèse à l'aide de la définition et le TAF

la deuxième s'en déduit immédiatement en considérant -f au lieu de f

Posté par
phyelec78
re : Application de classe C¹ 17-02-23 à 11:34

Bonjour,

Faites nous part de vos essais, afin que nous puissions vous aider, nous ne sommes pas dans le jugement.

Posté par
gfc03
re : Application de classe C¹ 17-02-23 à 12:02

Je suis bloqué sur la première question je ne vois pas par quel raisonnement je dois passé

Posté par
carpediem
re : Application de classe C¹ 17-02-23 à 13:00

carpediem @ 17-02-2023 à 11:31

la première question est (assez) immédiate en traduisant l'hypothèse à l'aide de la définition et le TAF

Posté par
gfc03
re : Application de classe C¹ 18-02-23 à 09:46

Bonjour  je trouve :
Considérons un intervalle [a,b] avec b un réel au voisinage de l'infini f étant une fonction continu on a c \in ]a,b[
tel quef'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
au voisinage de l'infini f'(c)=+\infty \Rightarrow f(b)-f(a)=+\infty j'en déduis que f(b)=+\infty
Alors \lim_{+\infty } f(x)=+\infty
PS : désolé pour le retard

Posté par
luzak
re : Application de classe C¹ 18-02-23 à 09:59

Si une fonction est  définie et dérivable sur [a,\to[, \;a\in\R comment peut-on envisager d'étudier une limite en -\infty ?

Posté par
gfc03
re : Application de classe C¹ 18-02-23 à 10:45

Merci
et donc mon raisonnement pour le 1) est correct ?

Posté par
carpediem
re : Application de classe C¹ 18-02-23 à 12:38

ouais c'est l'idée mais c'est très mal rédigé : à peine un embryon de raisonnement  et la continuité def ne joue aucun rôle ...

\lim_{x \to +\infty} f'(x) = +\infty donc par définition pour tout réel A > 0 il existe un réel a tel que : x \ge a \Longrightarrow f'(x) \ge A

donc \forall x > a  \exists c \in ]a, x[  /  f(x) - f(a) = f'(c) (x - a) \ge A (x - a)

il suffit alors de faire tendre x vers +oo ...

Posté par
gfc03
re : Application de classe C¹ 18-02-23 à 21:41

Merci
Donc je continue \small f(x)-f(a)\geq A(x-a ) \Rightarrow f(x) \geq A(x-a) +f(a) donc
\lim_{x\rightarrow +\infty }{f(x)} \geq +\infty \Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty }{f(x)}=+\infty

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Application de classe C¹ 18-02-23 à 22:22

Bonsoir

\boxed{3}

\bullet Comme \lim_{x\rightarrow+\infty }\frac{g(x)}{f(x)}=0, pour tout réel strictement positif \varepsilon (arbitrairement petit)

on peut trouver un réel b>a tel qu'on ait \left|\frac{g(x)}{f(x)}\right|<\frac{\varepsilon}{2} pour tout x\geqslant b

ce qui s'écrit aussi (vu que f est supposée strictement positive) \forall x\geqslant b~,~\left|g(x)\right|<\frac{\varepsilon}{2}f(x).

\bullet On a alors \forall x\geqslant b~,~\int_a^x\left|g(t)\right|dt=\int_a^b\left|g(t)\right|dt+\int_b^x\left|g(t)\right|dt<\int_a^b\left|g(t)\right|dt+\frac{\varepsilon}{2}\int_b^x f(t)dt<\int_a^b\left|g(t)\right|dt+\frac{\varepsilon}{2}\int_a^x f(t)dt

ce qui donne \forall x\geqslant b~,~\frac{\int_a^x\left|g(t)\right|dt}{\int_a^x f(t)dt}<\frac{\int_a^b\left|g(t)\right|dt}{\int_a^x f(t)dt}+\frac{\varepsilon}{2}.

\bullet Comme \int_{a}^{+\infty }{f(x)dx} diverge, on peut trouver un réel c>b tel qu'on ait \frac{\int_a^b\left|g(t)\right|dt}{\int_a^x f(t)dt}<\frac{\varepsilon}{2} ... sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
gfc03
re : Application de classe C¹ 19-02-23 à 09:20

Merci mais pourquoi prendre \frac{\epsilon }{2} ?

Posté par
matheux14
re : Application de classe C¹ 19-02-23 à 09:50

Salut, la raison pour laquelle on prend \dfrac{\varepsilon}{2} est qu'on a besoin d'une borne supérieure pour notre expression.

Comme \varepsilon est un nombre arbitrairement petit, on peut le diviser par 2 pour obtenir un nouveau nombre encore plus petit, mais toujours strictement positif. Cela nous permet d'avoir une borne supérieure plus serrée pour notre expression et de s'assurer que notre conclusion est correcte pour tout \varepsilon>0.

Posté par
carpediem
re : Application de classe C¹ 19-02-23 à 10:10

parce que e/2+e/2 = e !!

Posté par
larrech
re : Application de classe C¹ 19-02-23 à 10:58

Bonjour,

Certes, mais c'est pure coquetterie car 2 est tout aussi arbitrairement petit que

Posté par
Rintaro
re : Application de classe C¹ 19-02-23 à 11:05

Bonjour,

et je rajoute à la coquetterie évoquée par larrech que les plus névrosées d'entre nous (dont je fais partie) aiment ce sentiment d'obtenir à la fin un bel epsilon, c'est satisfaisant .

Posté par
larrech
re : Application de classe C¹ 19-02-23 à 11:19

C'est plus élégant  en effet; il y a  des démos où il faut le couper en 3, en 4.

Posté par
matheux14
re : Application de classe C¹ 19-02-23 à 11:45

larrech @ 19-02-2023 à 11:19

C'est plus élégant  en effet; il y a  des démos où il faut le couper en 3, en 4.


Je pense bien sur à un exo que j'ai posté il n y a pas bien longtemps.. si l'on veut montrer qu'une fonction converge uniformément sur un intervalle donné, on peut découper cet intervalle en plusieurs parties et montrer que la fonction converge uniformément sur chacune de ces parties. Pour cela, on utilise souvent l'inégalité de la moyenne, qui affirme que pour tout intervalle [a, b], on a :

|f(b) - f(a)| <= (b - a) sup |f'(x)|,

où sup |f'(x)| est le supremum de la valeur absolue de la dérivée de f sur l'intervalle [a, b]. On peut alors découper l'intervalle [a, b] en plusieurs parties de longueur au plus epsilon, pour obtenir une estimation fine de la différence |f(b) - f(a)|, et donc montrer que la fonction converge uniformément.

Dans d'autres situations, il peut être utile de couper l'intervalle des valeurs de la variable en plusieurs parties pour obtenir des estimations plus précises de certaines quantités. Cela permet souvent de montrer des résultats plus forts, ou de simplifier les démonstrations.

Posté par
carpediem
re : Application de classe C¹ 19-02-23 à 12:25

Rintaro @ 19-02-2023 à 11:05

Bonjour,

et je rajoute à la coquetterie évoquée par larrech que les plus névrosées d'entre nous (dont je fais partie) aiment ce sentiment d'obtenir à la fin un bel epsilon, c'est satisfaisant .
et c'est surtout la traduction de tout l'art et la maitrise (que possède bien évidemment elhor_abdelali) de la notion de limite dans le travail et sa traduction en terme de epsilon



PS : pour gfc03 dans ma rédaction de 12h38 remplacer a par b car a est déjà utilisé dans l'énoncé ...

Posté par
larrech
re : Application de classe C¹ 19-02-23 à 13:02

Loin de moi l'idée de diminuer la  maîtrise dont fait toujours preuve elhor_abdelali (que je salue au passage) et que j'admire.
Sujet sensible donc, mal élevé que je suis...

Posté par
gfc03
re : Application de classe C¹ 19-02-23 à 13:35

Rebonjour j'ai essayé mais je n'arrive pas à donner suite à l'idée de elhor_abdelali

Posté par
carpediem
re : Application de classe C¹ 19-02-23 à 14:24

larrech : loin de moi de penser cela de toi !!

je voulais juste dire que ce tu nommes coquetterie n'est qu'un bel exercice de style qu'elhor_abdelali nous offre régulièrement et apprécions tous !!

gfc03 : pourtant il n'y a plus qu'à conclure ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Application de classe C¹ 19-02-23 à 17:50

Grand merci à vous tous mes amis tout le plaisir est pour moi

Posté par
larrech
re : Application de classe C¹ 19-02-23 à 18:20

Tout est bien qui finit bien, donc.
Au lieu de "coquetterie" , un tantinet provocateur , j'aurais dû dire "raffinement" .
Mais comme  ces /2 semblaient relever d'un mystère insondable aux yeux de gfc03, j'avais voulu les démythifier...

Posté par
gfc03
re : Application de classe C¹ 20-02-23 à 16:30

Bonsoir carpediem
je ne vois vraiment pas

Posté par
carpediem
re : Application de classe C¹ 20-02-23 à 17:44

que ne vois-tu pas ?

Posté par
gfc03
re : Application de classe C¹ 20-02-23 à 18:02

elhor_abdelali @ 18-02-2023 à 22:22

Bonsoir

\boxed{3}

\bullet Comme \lim_{x\rightarrow+\infty }\frac{g(x)}{f(x)}=0, pour tout réel strictement positif \varepsilon (arbitrairement petit)

on peut trouver un réel b>a tel qu'on ait \left|\frac{g(x)}{f(x)}\right|<\frac{\varepsilon}{2} pour tout x\geqslant b

ce qui s'écrit aussi (vu que f est supposée strictement positive) \forall x\geqslant b~,~\left|g(x)\right|<\frac{\varepsilon}{2}f(x).

\bullet On a alors \forall x\geqslant b~,~\int_a^x\left|g(t)\right|dt=\int_a^b\left|g(t)\right|dt+\int_b^x\left|g(t)\right|dt<\int_a^b\left|g(t)\right|dt+\frac{\varepsilon}{2}\int_b^x f(t)dt<\int_a^b\left|g(t)\right|dt+\frac{\varepsilon}{2}\int_a^x f(t)dt

ce qui donne \forall x\geqslant b~,~\frac{\int_a^x\left|g(t)\right|dt}{\int_a^x f(t)dt}<\frac{\int_a^b\left|g(t)\right|dt}{\int_a^x f(t)dt}+\frac{\varepsilon}{2}.

\bullet Comme \int_{a}^{+\infty }{f(x)dx} diverge, on peut trouver un réel c>b tel qu'on ait \frac{\int_a^b\left|g(t)\right|dt}{\int_a^x f(t)dt}<\frac{\varepsilon}{2} ... sauf erreur de ma part bien entendu

que dois-je faire avec le réel c?

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Application de classe C¹ 20-02-23 à 18:20

Je réponds vu que carpediem (que je salue) parait déconnecté

\bullet Comme \int_{a}^{+\infty }{f(x)dx} diverge, on peut trouver un réel c>b tel qu'on ait \frac{\int_a^b\left|g(t)\right|dt}{\int_a^x f(t)dt}<\frac{\varepsilon}{2} pour tout réel x\geqslant c.

\bullet En définitive on vient de prouver que :

\forall\varepsilon>0~~\exists c\in]a,+\infty[~,~\left|\frac{\int_a^x g(t)dt}{\int_a^x f(t)dt}\right|\leqslant\frac{\int_a^x\left|g(t)\right|dt}{\int_a^x f(t)dt}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon

ce qui n'est autre que la définition (quantifiée) de :\lim_{x \rightarrow+\infty }\frac{ \int_{a}^x{g(t)dt}}{ \int_{a}^x{f(t)dt}}=0 sauf erreur de ma part bien entendu

remarque : L'écriture \lim_{x \rightarrow+\infty }\frac{ \int_{a}^{+\infty }{g(x)dx}}{ \int_{a}^{+\infty }{f(x)dx}}=0 n'a pas de sens.

Posté par
gfc03
re : Application de classe C¹ 20-02-23 à 19:11

Grand merci à vous

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Application de classe C¹ 20-02-23 à 21:11

C'est un plaisir gfc03



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