espace vectoriel normé

Bonjour coa347.
Si a et b sont deux réels positifs, on a
Donc ici tu prends et

bonjour,
c'est quoi pour toi d(x,y) ?

E est donc un K-ev ( où K =  ou ) .Il y a une norme N sur E  (donc une distance (x,y) N(x - y) ).
Sur E² on met  une distance  D : ((x,y),(x',y')) Max (d(x,x') , d(y,y') )

Il s'agit de voirsi  d est lip (pour D) donc de voir s'il existe un réel c tel que pour tout ((x,y),(x',y'))   E² on a : |(x,y) - d(x',y')| c.Max (d(x,x') , d(y,y') ) .

E est donc un K-ev ( où K = ou  )
d est la distance (x,y)  N(x - y) ).

|
d(x,y) - d(x',y')| = |N(u) - N(v) | ( si on pose u = x - y et v = x' - y' )
N(u - v) = N((x - x') - (y - y'))
) N(x - x') + N (y - y')
2D((x,y),(x',y'))

Merci à tous. Je lirai attentivement vos réponses demain.

bonjour coa347,
je suis d'accord avec toi, l'exercice me semble faux,  j'ai repris en détail toutes les définitions (définition de la 1- lipschtzianité , détail des différentes normes... )et j'aboutis à la même inégalité que toi  et en prenant E=R,  avec des exemples bien choisis on obtient une inégalité fausse.

Effectivement, j'ai également repris toutes les notations et l'énoncé est faux.
Je me suis également bien trompé dans mon message  11-09-17 à 16:35.

En fait, je n'avais pas fait attention que cet énoncé était très différent de l'énoncé classique qui est :

Soit est un espace métrique et . Alors l'application est 1-lipschitzienne.

Plus généralement, si alors l'application est 1-lipschitzienne.

   Une application   f : X est dite  1-lipschitzienne s 'il existe  c tel que |f(x) - f(y)|   D(x,y) pour tout (x,y) de X² .
c  est un " rapport de Lipschitz "  .

  Sauf erreur de ma part dans mes calculs , d est 1-lipschitzienne  pour D . Un de ses rapports est 3,14 .
Le meilleur rapport me semble être 2 .

bonjour,
alors où est l'erreur ?
,   ,  
F=

  avec u=(x,y),v=(x',y')

1- lipschitzienne    






il faut donc avoir

ce que l'on a pas avec    et   où la norme est la valeur absolue
pour x=10, x'=5, y=1,y'=2

L'erreur vient de  "1- lipschitzienne "

    Je n'ai entendu  , > 0 étant donné, que l'expression " - lipschitzienne  de rapport r "  qui qualifiait  une application f  d'un métrique (X,d) vers un autre métrique (X',d')  telle que d'(f(x),f(y)) r.(d(x,y))  pour tout (x,y) X² .

Si  "1- lipschitzienne " veut dire autre chose pour certains  .....

Ça sent la confusion avec les -höldériennes :
Les applications k-lipschitziennes sont les applications 1-höldériennes avec C = k
Donc une 1-lipschitzienne est une 1-höldérienne avec la constante C = 1

Faut voir l'âge de celui qui a posé l'exo pour se mettre d'accord .

Si dans E² on prend pour distance ((x,y),(x',y'))   N(x-x') + N(y,y')  on a une "lip1 de rapport 1 "  avec mon jargon  et " 1-lip " avec  le nouveau .

Bonsoir,

Si cela peut aider, c'est un exemple tiré du MP/MP* tout-en-un aux éditions Dunod programme 2014..

Il n'y a pas besoin de connaître l'âge du capitaine pour résoudre cet énoncé qui est de toute évidence incorrect. J'ai mis plus haut la version classique plus qui, elle, est exacte.
Ceci dit, est-ce-que le MP/MP* tout-en-un aux éditions Dunod programme 2014 donne la solution ?

jsvdb
Tu rigoles ?
Si les Lip " alt="" class="tex" /> d'autrefois sont les Hölder d'aujourd'hui  l'âge du capitaine  intervient .

Maintenant l'énoncé dit que "    E²est  muni de la norme produit " .
Quelle est donc cette norme produit ?

Bon allez c'est bon, j'ai autre chose à f... que de me battre sur ce genre de détail sans intérêt.

Bonjour,

On est donc tous d'accord, c'est une erreur du livre.

@jsvdb, c'est juste un exemple d'une application 1-lipschitzienne, sans solution.

Il y a aussi l'exemple de l'application distance à A partie de E : x->d(x,A), où là c'est ok.

Je suis d'accord aussi pour l'application distance à un point donné y : x->d(x,y), elle est bien 1-lipschitzienne (inégalité triangulaire).

@ethniopal, dans le livre, avec E muni de la norme ||.||, la norme produit sur ExE est définie par : pour (x,y) dans ExE, N((x,y))=max (||x||,||y||).

Merci à tous !

Si on reprend mot à mot les définitions :

On a d'un côté : |d(x,y)-d(x',y')| (car |.| norme sur R+)=| ||x-y|| - ||x'-y'|| |, et de l'autre : N((x,y)-(x',y'))=N((x-x',y-y'))=max(||x-x'||,||y-y'||).

Et c'est faux pour E=R et ||.||=|.|

tout à fait et simplement il suffit de constater que dans n'importe quel ev normé, on n'a pas . Il suffit de prendre .
En revanche, on a clairement
Et avec on a exactement .
Par conséquent, l'exercice est correct si on demande de montrer que l'application est 2-lipschitzienne.
Mais ça, etniopal l'a déjà dit indirectement Application distance lipschitzienne ?