Bonjour

Tu peux démontrer que f(1)=1, et (par récurrence) que  0 < f(2n) < 1 et f(2n+1)> 1 . L'injectivité viendra toute seule.

Tu peux démontrer que f(1)=1, et (par récurrence) que pour n1 : 0 < f(2n) < 1 et f(2n+1)> 1

Tu peux démontrer que f(1)=1, et (par récurrence) que pour n1 : 0 < f(2n) < 1 < f(2n+1)

Tu as tout en même temps.

Du coup, pour l'injection, f(x) = f(y) ne peut être vérifié que si x et y sont de même parité. Tu termines facilement.

jeanseb d'accord  merci et en ce qui concerne la surjection j'ai ultilisé f(N)=Q+ mais pour la deuxième inclusion je n'arrive pas à produire un raisonnement concrèt

C'est effectivement plus compliqué que je ne l'imaginais...
Tu as démontré les inégalités de 19h15?
Que vient faire la surjection dont tu parles? Elle n'est pas dans l'énoncé.

     il  me  semble  que l'exo  demande     de montrer qu'il existe une bijection f de   sur ₊ vérifiant   f(0) = 0 et , pour tout n * ,   f(2n) =1/(1+ f(n)) et f(1 + 2n) =1 + f(n) .

L'utilisation de la  numération  en base 2 doit pouvoir le permettre .

Pour l'injectivité de f :
    Supposons qu'il existe  (p , q)  ² tel que  p < q et f(p) = f(q)  .
Déjà  , puisque f(n) > 0 pour tout n > 0 ) on voit que p > 0  .

p et q sont donc de même parité puisque pour tout (m , n ²  on a : f(2m)  < 1 < f(2n + 1)  .
    Si  p et q  sont pairs on a :  f(p) = 1/(1 + f(p/2) et  f(q) = 1/(1 + f(q/2)  donc f(p/2) = f(q/2)
    Si  p et q  sont impairs on a :  f(p) =  1/(1 + f((p - 1)/2) et  f(q) =  (1 + f((q - 1)/2)  donc f((p - 1)/2) = f((q - 1)/2) .
Ii existe donc  (p ' , q  ')  dans   ² tel que  p' < q', p' p/2 , q' q/2  et  f(p ') = f(q ')     .
Si p ' > 0 , on recommence avec   (p ' , q  ') au lieu de  (p , q ) .
Au bout d'un nombre fini d'étapes on arrive à avoir un  (0 , n) où n * et f(0) = f(n)  ,  ce qui n'est pas vrai .

Pour l injection j'ai utilisé une récurrence a deux variables apres avoir demontré que les deux nombre on la meme parité mais pour la surjection je ne vois rien je trouve pas un raisonnement logique

Bonjour je voudrais une indication sur un exercice
Soit f une application définie de N  vers Q+ tel que f(0)=0 et f(2n)=\frac{1}{f(n)+1} et f(2n+1)=f(n)+1
Comment montrer que f est surjective ?
Je connais les définitions mais je n'arrive pas l'appliquer ici

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Hello !

Ca se fait par récurrence.
Pn : "Il existe un entier N(n) tel que pour toutes fractions du type p/q avec et il existe k tel que "

P0 et P1 sont vraies (f(0) = 0 et f(1) = 1)

Maintenant, on suppose Pn vraie et soit N l'entier en question.
Pour passer à Pn+1, on va considérer toutes les fractions du type (n+1)/q et p/(n+1) avec et

Peux tu montrer que ces 2 fractions sont atteintes par f?

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Bonjour,
@mathsspeaide,
Dans le premier message, seule l'injectivité est demandée.
La surjectivité l'est-elle aussi ?
C'est faux de vers .
Peux-tu donner la question posée avec précision ?

Non pas vraiment

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multipost : voir Application et injection

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