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Application linéaire
Bonjour,
J'ai besoin d'un coup de main pour cet exercice:
Soit f : E→E une application linéaire vérifiant fof=-IdE .
Montrer que si u appartient à E et u≠0E, alors la famille {u, f(u)} est libre.
J'ai supposé que u appartient à E et u≠0E, je dois donc montrer que la famille {u, f(u)} est libre.
Ainsi, je dois montrer que pour tout a,b ; l'écriture a.u+b.f(u)=0 implique a=b=0.
u appartient à E : f(f(u))=-u <=> u+f(f(u))=0... Je ne vois vraiment pas comment proceder.
En calculant quand même le déterminant de la matrice obtenue des expressions de f(u) et f(f(u)) dans la base (u, f(u)), je trouve un résultat non nul.
f(u)=0.u + 1.f(u)
(f(f(u))=-1.u + 0.f(u)
Bonjour,
N'aurais-tu pas oublié de nous dire que le corps de base est ?
Si tu travailles sur , ça ne va plus !
Moi, je partirais de , et j'appliquerais
.
Bonjour,
comme fof=-Id on a ker(f)={0} :
f(v)=0 
v=0.
Donc au+bf(u)=0 est équivalent à f[au+bf(u)]=0.
Et je te laisse continuer.
Le corps de base n'est vraiment pas précisé. Je suppose qu'il s'agit de R.
En appliquant f, j'ai a.f(u)+b.f(f(u))=0 , puisque f es linéaire. Ainsi en remplaçant f(f(u)) par -u , on a -b.u + a.f(u)=0 , en identifiant les coefficients de u et f(u) , on a:
a=-b ; b=a soit a=b=0 ... Puis-je procéder ainsi?
Non, tu ne peux pas : en faisant ainsi, tu supposes que et
sont linéairement indépendants, ce que tu cherches à démontrer.
La preuve que ça ne marche pas : tu n'utilises pas ici que le corps de base est , alors que c'est indispensable. En effet, que se passe-t-il si on travaille sur
et que
est l'homothétie de rapport
?
C'est une possibilité.
Tu es arrivé à :
À quelle condition ce système a t-il une solution non nulle ?
Oui, si on a bien
et pourtant
et
sont colinéaires : le résultat est faux sur
. Il faut donc utiliser quelque chose d'un peu spécifique pour
.
Plutôt que de me poser la question de verdurin, je tenterais une combinaison linéaire de et
qui entraîne, en utilisant l'hypothèse
, que
.
Salut GBZM.
Il y a d'autres corps que ou
.
Et ta suggestion revient exactement à répondre à ma question.
C'est une possibilité.
Tu es arrivé à :
À quelle condition ce système a t-il une solution non nulle ?
Lorsque a=b=0.
Oui, si
Plutôt que de me poser la question de verdurin, je tenterais une combinaison linéaire de
Okay d'accord je vois...
Il y a d'autres corps que
Certes, mais ici on doit utiliser le fait que
Et ta suggestion revient exactement à répondre à ma question.
Pas d'accord.
Lorsque a=b=0.
Tu ne donnes aucun argument. Pour moi ta réponse n'est pas valable , et je pense qu'elle ne le sera pas non plus pour ton prof.
Le système a des solutions non nulles si son déterminant est nul c'est à dire si
C'est exactement le résultat que l'on retrouve en faisant des combinaisons linéaires judicieuses.
Le système a des solutions non nulles si son déterminant est nul c'est à dire si
C'est exactement le résultat que l'on retrouve en faisant des combinaisons linéaires judicieuses.
C'est justement à quoi je pensais, sauf que j'ai dû déduire que a²+b²=0 , implique que dans le cas des nombres réels a et b sont tous deux nuls.
Il ne suffit pas de penser, il faut l'écrire ! Un argument que l'on n'énonce pas n'est pas un argument.
Quant au système, quelles en sont les deux inconnues ???
Reprenons le tout pour laisser une version propre.
est un endomorphisme d'un
-espace vectoriel
vérifiant
. Soit
non nul.
Soient réels tels que
. En appliquant
, on en déduit
. En ajoutant
fois la première équation et
fois la deuxième, on obtient
et donc
puisque
est non nul. Comme
et
sont réels, ceci entraîne
.
On a démontré que et
ne sont pas colinéaires.
.
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