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Donc sa suffit pour dire que le noyau n'est pas réduit qu'au vecteur nul?
ok et je fé sa pour toutes les valeures de a où la matrice est non inversible
esque je dois connaitre la valeur de ce vecteur non nul contenu dans le noyau?
ok et je fé sa pour toutes les valeures de a où la matrice est non inversible
oui mais vu que a apparait avec un carré, les cas a=2 et a=-2, se traitent ensemble, de même que pour 1, -1, et 3,3.
esque je dois connaitre la valeur de ce vecteur non nul contenu dans le noyau?
D'une certaine manière oui, car il faut prouver qu'il existe.
Ici, il faudra dire quel polynôme est dans le noyau.
Lorsque a=0, c'était le polynôme constant égal à 1.
Kaiser
OK. Par exemple:
pour a=1 c'est le pôlynomes égal à X
P(X)=X² pour a=2
et P(X)=X^3 pour a=3
là, ça ne marche plus car avec a=2 et a=3, aucun vecteur colonne n'est nul.
Il faut un autre moyen pour trouver un vecteur du noyau.
Kaiser
Et comment on peut faire?
Tu peux toujours résoudre un système linéaire pour déterminer le noyau cepednant je crois qu'il y a plus simple : on remarque que dans les deux cas a=2 et a=3, il y a un vecteur ligne qui est nul.
Kaiser
oui la 2ème ligne pour a=2
et la 3ème ligne pour a=3
et donc ça te dit tout de suite que dans les deux cas ta matrice est non inversible et donc que son noyau est non réduit à 0.
Est-ce toujours OK ?
Kaiser
pourquoi elle est non inversible?
Parce qu'on pourra pa trouver la matrice identité,étant donné que la ligne entière est égal à 0?
en gros c'est ça mais tu peux aussi le justifier en raisonnant sur le rang de matrice : comme il y a un ligne de 0, alors le rang de la matrice ne peux pas dépasser 3.
Kaiser
ok oui j'ai compris, là on a fini de répondre à la question,enfin il nous reste plus qu' a conclure
OK !
Passons à la dernière question.
Ici, on va commence par a=0.
Essaie de déterminer le noyau et l'image et ce sans calcul.
Kaiser
pour l'image je crois que c'est (0,0,0,0,0) non ?
c'est un sous espace vectoriel
certes mais comment est-il défini ?
(en gros, je voudrais essayer de comprendre ta réponse de 23h37).
Kaiser
j'ai donné cette réponse parcequ'on a dit que la colonne de la matrice était l'image d"un vecteur dans le noyau
ah oui mais toutes les colonnes sont dedans.
En fait, l'image est l'espace vectoriel engendré par les vecteurs colonnes de la matrice.
Kaiser
Plus précisément, ici, ce que l'on recherche c'est l'image de l'endomorphisme donc c'est le sous-espace vectoriel engendré par les polynômes f(1), f(X), f(X²) et f(X^{3}).
Kaiser
dois-je trouver l'espace vectoriel
je dois avoir une é quation du type
A1f(1)+A2f(X)+A3f(X²)+A4f(X^3)
Oui, un élément de l'image va bien s'écrire sous cette forme mais iol faut essayer d'être un peu plus précis.
Bon, je sais ce que je vais faire.
Je vais te montrer comment faire pour cet exemple et ensuite, tu essaieras pour le prochain.
Avec a=0, on a
On a donc que :
Pour l'instant, es-tu d'accord avec moi ?
Kaiser
pourquoi on a enlevé le '2X à la fin?
Parce qu'on a déjà X dans la famille.
En effet, .
Plus précisément, il est clair que est une combinaison linéaire de
et
.
Réciproquement, on a
C'est plus clair ?
Kaiser
OK !
Du coup, la réponse à donner est celle de mon message de 00h41 car il me semble que c'est l'expression la plus simple.
Kaiser
D"accord, j'ai compris
Je suis désolé, j'ai eu beaucoup de mal à comprendre car jété pa là quand on a fait ce cour
En tout cas merci beaucoup d'avooir été patient avec moi.
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