Bonjour Une fille

Qu'as-tu déjà fait ?
Autre chose : à la place de = ça serait pas un signe "plus" ?

Kaiser

Oui en effet il s'agissait bien d'un plus merci.
      Alors j'ai commencé à répondre à la 1ère question, tout d'abord j'ai commencé par démontrer que f est une application linéaire (je te passe les détails),ensuite j'ai dit que deg(Q)était inférieur ou égal à 3 (en disant que deg (3) inférieur ou égal à 3 donc deg(P') est inférieur ou égal à 2 et deg(P") inférieur ou égal à 1) donc f est un endomorphisme.
Ensuite pour trouver la matrice de f j'ai un peu de mal car il faut décomposer f(1),f(X), f(X²), f(X^3) dans la base qu'on m'a donné mais j'y arrive pas trop à cause du a.
Quant à la 2ème question je ne sais pas du tout la méthode que je dois suivre.
  Voilà, ce que j'ai fait mais je ne suis pas sûre donc si tu as des autres propositions, n'hésites pas. Merci d'avance kaiser...

une autre précision : la relation c'est bien ? (il y avait un signe plus au début).

Que trouves-tu pour f(1), f(X), f(X^{2}) et f(X^{3}) ?

Kaiser

oui c'est ça milles excuses.
   Bah justement je n'arrive pas à trouver parceque le a me gêne.

Tu n'as pas à t'excuser ! c'était simplement une faute de frappe !
Pourquoi te gênes-t-il exactement ? C'est simplement une constante.

Kaiser

J'ai trouvé mais je ne suis pas du tout sûre parceque j'ai tendance à confondre X et P(X) quand je remplace, donc ja trouve:
f(1)=a²
f(X)=(1-X²)-X+a²
f(x²)=2-2X²-2X^3+(aX)²
f(X^3)=6x-6X^3-X^3*X3X²+a²X^3
Mais je trouve mes résultats un peu bizarres pour les 2 derniers

Pour f(1) c'est OK !
Pour f(X) :
je ne suis pas d'accord car la dérivée seconde de X est nulle.
De plus, devant le a², il doit y avoir X.

Pour :
Pourquoi ?

Pour , je n'ai pas très bien compris. Pourrais-tu réécrire le résultat s'il te plait ?

Kaiser

    oui, oui désolé tu as raison

après rctification je trouve:
f(X)=-X+a²X
f(X²)=2-4X²+(aX)²
f(X^3)=6X-9X^3+a²X^3
     voilà, j'espère que cette fois-ci je ne me suis pas trompée...

Tatoubon !

Maintenant, pour exprimer la matrice de f dans la base , il faut commencer par réarranger les expressions précédentes en mettant tous les termes de même degré ensemble.

Kaiser

   oui ça je pense avoir compris, je trouve:

  a²   0      2     0
  0    a²-1   0     6
  0    0     -4+a²  0
  0    0      0    -9+a²


Mais la question 2, je bloque carrément peut-tu m'aider s'il te plaît?

c'est tout à fait ça !
Sinon, quels critères connais-tu pour l'inversibilité d'un endomorphisme ?

Kaiser

       Je crois savoir que si un endomorphisme est bijectif alors f est inversible non?

c'est une définition.
En fait je te parlais de critère assurant l'inversibilité d'un endomorphisme.

Kaiser

    Désolé, je ne comprend pas ce que tu entend par critères assurant l'inversibilité....

ici, l'endomorphisme f est inversible si et seulement si sa matrice est inversible.
Tu es d'accord ?

Kaiser

       tout à fait d'accord, alors je dois prouver que ma matrice est inversible c'est ça?

Enfin, elle ne l'est pas tout le temps.
Cela dépend de a.
De manière générale, comment vérifie-t-on qu'une matrice est inversible ?

Kaiser

Par pivot, on montre d'abord que ma matrice, par une successions d'opérations, est égale à la matrice

identité, on a donc prouver qu'elle est inversible, et en faisant les mêmes opérations sur la matrice

identité, on trouve son inverse.

Tu as vu le déterminant ?

Kaiser

Non pas encore c'est le prochain chapitre qu'on va faire.

OK, dans ce cas, tu utilises le pivot.
En faisant, ça essaie de me dire pour quelles valeurs cette matrice est non inversible.

Kaiser

Je n'arrive pas à me débarrasser du 2 et du 6 dans ma matrice.


   Sinon,par supposition, je pense que c'est pour a=1,a=2et a=3 non?

    Oui mais on est pas censé savoir que a1,-1,2,-2,3,-3-et 0
puiqu'on doit d'abord essayer de démontrer qu'elle est inversible donc par pivot même si je m'aide de la 3ème ligne pour me débarrasser du 2, il y a toujours le  -4+a² (notammant le a²) qui bloque tout.
Je suis désolé mais j'ai du mal à comprendre...

Par exemple, en supposant que , tu peux diviser la 3 ème ligne par ety tu aura alors un 1 sur la troisième ligne.
Ensuite, pour éliminer le 2, tu soustrais 2 fois la ligne 3 à la première ligne.
Tu vois où je veux en venir ?

Kaiser

        



OK je pense avoir trouver la matrice inverse:



1/a²      0      -1/(a²-4)*a²      0

0       1/(a²-1)    0            -6/(a²-9)(a²-1)
0         0        1/(a²-4)        0
0         0         0             1/(a²-9)


       esque c'est bon?

première ligne, deuxième colonne : je crois que c'est

Sinon pour calculer cette inverse il a fallu supposer que a était différentes des valeurs dont on avait parlé tout à l'heure.

Il reste don à montrer que si prends l'une de ces valeurs, alors la matrice est non inversible.
Est-ce OK ?

Kaiser

  Par exemple, pour a=2 je dois remplacer deans la matrice et tenter de l'inverser et je montre qu'on peut pas et ja fais cela pour toutes les valeures c'est ça?

montrer qu'on ne peut pas faire quelque chose n'est pas forcément évident.
Par exemple, pour chacune de ces valeurs, essaie de montrer que l'application n'est pas injective en montrant que noyau n'est pas réduit au polynôme nul.

Kaiser

Bon tu  sais quoi je vais y plancher pour demain et si tu es là je te donnerrai mes réponses,pasque là j'commence à fatiguer et demain j'ai cours.


    EN TOUT CAS TU M'A ETE D'UNE GRANDE AIDE, MILLES MERCIS T'ES SUPER

Mais je t'en prie !
Ce fut un plaisir de t'aider !
À demain peut-être et bonne nuit !

   Bonjour,je suis encore sur mon exo, et je dois prouver que kerf n'est pas réduit au pôlynome nul, pour cela ai'je le droit d'utiliser ma matrice en remplaçant a par les valeurs avec lesquelles l'application est inversible c-a-d pour a=1,-1,2,-2,3,-3 et 0.

Bonsoir

oui sauf que pour ces valeurs, ta matrice est non inversible.

Kaiser

Ok  mais pour a= 0  on peut pas diviser par 0
par exemple on a

  1/0    0    -2/0    0
  0     -1     0    -2/3
  0      0    -1/4   0
  0      0     0    -1/9
  

Je parlais bien sûr de la première matrice, pas celle de son inverse (qui d'ailleurs n'existe pas.)

Kaiser

   A ouiiiiii, d'accord désolé, en fait en remplaçant a par les valeures qu'on a trouvé je doi avoir une matrice non nul c'est ça?

comment ça, une matrice non nulle ?
Je ne comprends pas.

Kaiser

   A non j'ai rien dit, je me suis trompé désolé

Y'a pas de mal !
En fait, en remplaçant a par l'une de ces valeurs, il faut montrer que le noyau de ton endomorphisme n'est pas réduit à 0, et ce en utilisant la matrice associée.

Kaiser

   désolé mais là je crois que mon cerveau refuse de comprendre, j'arrive pas à trouver la bonne méthode, je bloque entièrement

On veut montrer par exemple, que pour a=0, le noyau est non réduit à 0.
La matrice associée est alors la suivante :



Pourquoi le noya de cette matrice n'est pas réduit à 0 ?

Kaiser

Parceque la matrice n'est pas nulle non?
normalment si le noyau été réduit a 0 on aurait:
0   0   0   0
0   0   0   0
0   0   0   0
0   0   0   0

ah non !
Justement, si la matrice est nulle alors tous les vecteurs sont dans le noyau.

Ici, en regardant la matrice de mon message précédent, on peut voir facilement quel vecteur est dans le noyau.
A-t-on avis, lequel ?

Kaiser

Là, tu vois je déséspère carrément parceque je ne vois pas du tout de quel vecteur il s'agit....................

ta matrice est écrite dans une certain base.
Tu sais alors que les vecteurs colonnes de cette matrice sont les images des vecteurs de cette base par l'endomorphisme.
Es-tu d'accord avec moi ?

Kaiser

Oui là je te suis.

OK !
Sur cette matrice, le premier vecteur colonne est nul.
Cela veut donc dire que le premier vecteur de la base (qui est donc non nul) dans laquelle est écrite cette matrice a pour image le vecteur nul.
On a donc un vecteur non nul qui est dans le noyau qui est alors non réduit à 0.

Me suis-tu toujours ?

Kaiser

aaah d'accord, en fait, le premier vecteur de la colonne c'est pas le vecteur nul mais l'image d'un vecteur non nul contenu dans le noyau, c'est ça ?