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Application linéaire : projecteur, supplémentaires
Bonjour à tous !
J'ai du mal avec un exercice portant sur les applications linéaires dont voici l'énoncé:
Ex. E un espace vectoriel sur R, et soit p un endomorphisme
de E. p est un un projecteur si p² = p.
1) Soient F et G deux SEV de E qui sont supplémentaires,
et soit p la projection sur G parallèlement à F.
Montrer que p est un projecteur.
2) Inversement, soit p un projecteur de E. On pose F = ker p et G = Im p.
Montrer que F et G sont supplémentaires.
3) Montrer que p est la projection sur G parallèlement à F.
Je sais qu'un endomorphisme est une application qui donne une image dans E à partir d'un espace E. F et G sont supplémentaires alors ils sont en sommes directes et leurs intersections sont nulles. Par contre, la projection, j'ai un peu plus du mal à comprendre.
1) Je ne sais pas comment commencer. P est un espace, un polynôme ?
2) par défintion dim F + dim G = dim E
Peut on dire directement que F +G= E ?
Ceci montrerait une somme directe.
Comment prouver que l'intersection de Ker p et im P est égal à 0 ? Par définition, c'est vrai, non ? Im Ker u(x)=u(x)=0
3) Est une question pour m'inciter à changer de base et à utliser la matrice de passage ?
Beaucoup de questions, alors je vous remercie de votre aide. Si aussi vous pouviez m'indique le raisonnement que vous avez eu, je veux dire quel élément vous a incité à faire votre méthode ?
Merci
salut
si F et G sont supplémentaires dans E alors pour tout v de E v = g + f et cette décomposition est unique
alors l'applcation p : x --> g vérifie p o p = p donc p est un projecteur ...
réciproque
v = (v - p(v)) + p(v)
montre que v - p(v) et p(v) appartiennent respectivement à Ker(p) et à Im(p) puis que cette somme est directe ...
1) soit x
E
(a,b)FxG tel que x=a+b
p(x)=p(a+b)=p(a)=a
pop(x)=pop(a+b)=pop(a)+pop(b)=p(a)+p(O)=p(a)=a
De souvenir mais ça date...
Bonjour,
1) p est un endomorphisme de E: c'est l'endomorphisme qui à un point x de E associe la projection sur G de ce point parallèlement à F. En fait, si tu écris x=x1+x2 où x1F et x2G(ce qui est possible car F et G sont supplémentaires dans E), tu auras p(x)=x2
Si on décompose de nouveau x2 en une somme d'éléments de F et G: x2=x3+x4 où x3F et x4G, tu auras x4=x2 et x3=0 car F et G sont en somme direct, la décomposition de x2 en somme d'éléments de F et G est donc unique.
On a donc:
p2(x)=p(p(x))=p(x2)=x2=p(x)
Donc p est un projecteur
2)Essaie plutôt de démontrer que Ker(p)
Im(p)={0}, ce qui montre avec l'égalité des dimensions que Ker(p) et Im(p) sont supplémentaires dans E
3) Non, il ne faut pas passer par les matrices de passages pour répondre à cette question. Essaie plutôt de montrer que si x=x1+x2 où x1F et x2G, alors p(x)=x2, ce qui te donne immédiatement le résultat
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