on suppose que p°f = f°p mq Ker p et Im p stables par f
soit a Ker p, on a donc p(a)=0 donc f(p(a))=f(0)=0 or f(p(a))=p(f(a))=0 donc f(a) appartient à Ker p.

soit y Im p
donc x tel que p(x) = y
Donc f(y)=f(p(x))=p(f(x))=p(z) en posant z=f(x) donc z appartient à l'image de p.

Essaie de faire la réciproque maintenant

Une petite aide pour la réciproque :
Si p est un projecteur, alors E = Ker p + Im p (en somme directe)
Donc si x appartient à E, on peut l'écrire : x=y+z avec y un élément de Ker p et z un élément de Im(p).
Ensuite, on calcule p°f(x) et f°p(x). Tu devrais trouver le même résultat. N'oublie pas que p°p=p et que f est une fonction linéaire...

Merci Victor pour votre aide pourriez vous me dire si pour la réciproque mon raisonnement est correct?Merci d'avance.

on suppose que Ker p  et Im p sont stables par f mq p°f=f°p

x=y+z avec y un élément de Ker p et z un élément de Im(p).
on a x = y+z
donc p(x) = p(y+z)
donc p(x) = y+z
donc f(p(x)) = f(y+z)

on a x = y+z
donc f(x) = f(y+z)
donc p(f(x)) = p(f(y+z))
donc p(f(x)) = f(y+z)

d'où f°p = p°f

Attention, tu confonds projecteur et application identité :
p(y+z) n'est pas égale à y+z mais à p(y)+p(z)=p(z) car y appartient au noyay de p.
Recommence ton raisonnement...

Oui en effet j'ai hésité en faisant le calcul, mais j'ai opté pour la mauvaise solution. Merci de me l'avoir fait remarquer.
Je pense que comme cela c'est mieux.

x=y+z avec y un élément de Ker p et z un élément de Im(p).
on a x = y+z
donc p(x) = p(y+z)
donc p(x) = p(y)+p(z)
donc p(x) = p(z)
donc p(x) = z
donc f(p(x)) = f(z)

on a x = y+z
donc f(x) = f(y+z)
donc f(x) = f(y)+f(z)
donc p(f(x)) = p(f(y))+p(f(z))
donc p(f(x)) = p(f(z))
donc p(f(x)) = f(z)

donc p(f(x)) = f(y+z)

Toujours pas

dans le premier calcul, tu as écrit :
donc p(x) = p(z)
donc p(x) = z

De plus tu n'as pas utilisé le fait que l'image de p était stable par f.
As-tu vu où tu avais utilisé le fait que le noyau de p était stable par f ? (tu ne l'as pas précisé donc je me pose la question...)

mais p(z) n'est pas égal à z...

j'ai repris mes calculs pour la n-ième fois donc on a f(p(x)) = f(x) étant donné que p est projecteur de E et x appartient à E p(x) = x
mais j'ai du mal à montrer que p(f(x)) = f(x)
j'ai x = y+z
donc f(x) = f(y+z)
donc f(x) = f(y) + f(z)
donc p(f(x)) = p(f(y)) + p(f(z))
donc p(f(x)) = p(f(z)) car f(y) appartient à Ker p
mais après je vois pas comment arriver à p(f(z)) = f(x)

désolé de vous embêter, j'ai encore une petite question je ne vois pas pourquoi p(z) n'est pas égal à z.

x E
z Im p
donc z = p(x)
donc p(z) = p(p(x)) = p(x)

donc z = p(z) non?

oui, désolé, tu as tout à fait raison, si z appartient à l'image de p alors p(z)=z. Je n'avais pas bien lu...