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Applications linéaires

Posté par
Lili06130
22-02-21 à 19:10

Bonjour, j'ai la figure ci-joint, dans R2.

On la projection \vec{u} de P(\vec{u} ).

Si on est dans la base B=(\vec{e_1}=(1,0);\vec{e_2}=(0,1)

Je n'arrive pas à voir comment déduire l'expression analytique de P ...

Désolé je n'ai pas vraiment de "texte" pour le sujet de l'exercice.

Les vecteurs \vec{e'} sont pour la question suivante

Applications linéaires

Posté par
Ulmiere
re : Applications linéaires 22-02-21 à 19:40

La distance entre |p(u)| entre O et p(u) est l'un des côtés d'un triangle rectangle d'hypoténuse |u|.
Si tu appelles \theta l'angle entre e_1 et u et \omega celui entre u et e_1' (c'est à dire \pi/4 -\theta),

tu as

\tan(\theta) = y/x\\
 \\ \cos(\omega) = \dfrac{\textrm{côté adjacent}}{\textrm{hypoténuse}} = \dfrac{|p(\bar{u})|}{|\bar{u}|}

et bien-sûr, \cos(\omega) = \cos(\pi/4-\theta) = \sqrt{2}/2\left(\cos\theta + \sin\theta\right).

La difficulté est le choix de l'intervalle pour \theta. Si tu es dans ]-\pi/2,\pi/2[ c'est simplement \arctan(y/x), mais attention aux cas où u est horizontal ou vertical

Posté par
Lili06130
re : Applications linéaires 22-02-21 à 20:07

Bonsoir et merci pour votre réponse.

J'ai du mal à comprendre ce qu'on obtient  avec votre réponse, sachant que la question suivant est :  Déterminer A = MB(P).

En fait, cela ressemble très peu aux exercices que j'ai fais précédemment sur les applications linéaires. Je n'arrive pas à trouver comment exprimer P dans la base. La méthode que vous avez envoyé,  je ne vois pas comment on peut retrouver une expression analytique, utilisable pour la question suivante par exemple.

Posté par
flight
re : Applications linéaires 22-02-21 à 20:58

salut
avec u(x,y)
posons P(x,y)=(xo,yo) la projection orthogonale du vecteur v(x,y) sur la droite D d'équation  y=x  , comme (xo,yo) appartient à D alors  xo=yo.
on aussi  u - P(u) appartient à la droite  y=-x   soit  (xo- x , yo -y) appartient à y=-x
on a donc  yo- y = -xo+x  soit  
ensuite c'est tout simple il suffit d'obtenir  P(x,y) = (xo,yo)   grace à
yo- y = -xo+x
xo=yo.
a toi d'exprimer xo en fonction de x et y et aussi yo en fonction de x et y et tu obtiendra
l'expression de P(x,y) en fonction de x et y

Posté par
flight
re : Applications linéaires 22-02-21 à 20:58

yo- y = -xo+x
xo=yo.



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