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Applications linéaires

Posté par
cracotte06
12-03-23 à 17:49

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour une question s'il vous plaît.

Je dois montrer que la réunion des bases de Im(f) et de Ker(f) donne une base de R^n. Sachant que on a :
f ((x1            (x1 + x2 + 2xn
        .        =        x1 + xn
        .                         .
      xn))                    .
                              x1 + xn)

Et que j'ai calculé une base de Im(f) et de Ker(f) dans les questions précédentes. Pourriez-vous me donner un petit coup de pouce car je ne vois pas où aller ?

Merci d'avance.

Posté par
matheux14
re : Applications linéaires 12-03-23 à 18:40

Bonjour,

f \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 + 2 x_n \\ x_1 + x_n \\ \vdots \\ x_1 + x_n\end{pmatrix}

Comme ça ?
Pour montrer que la réunion des bases de \text{Im}(f) et de \text{Ker}(f) donne une base de \R^n, tu dois prouver que :

1) Les vecteurs dans cette réunion engendrent \R^n, c'est-à-dire que tout vecteur de \R^n peut être écrit comme une combinaison linéaire de ces vecteurs.

2) Cette réunion est linéairement indépendante, c'est-à-dire que la seule combinaison linéaire des vecteurs qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont nuls.

Si tu as calculé une base de \text{Im}(f) et de \text{Ker}(f) dans les questions précédentes. Supposons que B_1 = {v_1, v_2, \ldots, v_k} est une base de \text{Im}(f) et B_2 = {u_1, u_2, \ldots, u_{n-k}} est une base de \text{Ker}(f).

Pour prouver que la réunion de B_1 et B_2 engendre \R^n, tu dois montrer que tout vecteur \mathbf{x} \in \R^n peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs dans B_1 \cup B_2.

En effet, comme B_1 est une base de \text{Im}(f), pour tout \mathbf{x} \in \R^n, il existe un vecteur \mathbf{y} \in \R^k tel que \mathbf{x} = f(\mathbf{y}). On peut alors écrire \mathbf{y} comme une combinaison linéaire de v_1, v_2, \ldots, v_k :

\mathbf{y} = c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k

Ainsi,

\mathbf{x} = f(\mathbf{y}) = f(c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k) = c_1 f(v_1) + c_2 f(v_2) + \cdots + c_k f(v_k)

Comme B_2 est une base de \text{Ker}(f), pour tout \mathbf{x} \in \text{Ker}(f), on peut l'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs dans B_2.

Ainsi, tout vecteur \mathbf{x} \in \R^n peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs dans B_1 \cup B_2. Par conséquent, B_1 \cup B_2 engendre \R^n.

Maintenant, pour montrer que la réunion de B_1 et B_2 est linéairement indépendante, tu dois prouver que la seule combinaison linéaire des vecteurs dans B_1 \cup B_2 qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont nuls.

Soit c_1, c_2, \ldots, c_k, d_1, d_2, \ldots, d_{n-k} des scalaires tels que

c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k + d_1 u_1 + d_2 u_2 + \cdots + d_{n-k} u_{n-k} = \mathbf{0}

Comme B_1 et B_2 sont des bases, tout vecteur dans \text{Im}(f) peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs dans B_1, et tout vecteur dans \text{Ker}(f) peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs dans B_2. Ainsi, la condition ci-dessus peut être réécrite comme :

c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k = -d_1 u_1 - d_2 u_2 - \cdots - d_{n-k} u_{n-k}

Puisque \text{Im}(f) et \text{Ker}(f) sont des espaces vectoriels distincts, cela implique que tous les coefficients c_i et d_i sont nuls. En effet, si un coefficient c_i était non nul, alors v_i \in \text{Im}(f), ce qui signifierait que -d_1 u_1 - d_2 u_2 - \cdots - d_{n-k} u_{n-k} est dans \text{Im}(f), ce qui est impossible car c'est le vecteur nul.

De même, si un coefficient d_i était non nul, alors u_i \in \text{Ker}(f), ce qui signifierait que c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k est dans \text{Ker}(f), ce qui est impossible car c'est le vecteur nul.

Ainsi, tous les coefficients c_i et d_i sont nuls, ce qui montre que B_1 \cup B_2 est linéairement indépendante.

Enfin, pour montrer que B_1 \cup B_2 engendre \R^n, notez que tout vecteur \mathbf{v} \in \R^n peut être écrit comme la somme \mathbf{v} = \mathbf{y} + \mathbf{z}, où \mathbf{y} est dans \text{Im}(f) et \mathbf{z} est dans \text{Ker}(f). Puisque B_1 est une base de \text{Im}(f) et B_2 est une base de \text{Ker}(f), il existe des scalaires c_1, c_2, \ldots, c_k et d_1, d_2, \ldots, d_{n-k} tels que :

\mathbf{y} = c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k

et

\mathbf{z} = d_1 u_1 + d_2 u_2 + \cdots + d_{n-k} u_{n-k}

Ainsi,

\mathbf{v} = c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k + d_1 u_1 + d_2 u_2 + \cdots + d_{n-k} u_{n-k}

Cela montre que tout vecteur de \R^n peut être écrit comme une combinaison linéaire de vecteurs dans B_1 \cup B_2, ce qui montre que B_1 \cup B_2 engendre \R^n.

Ainsi, B_1 \cup B_2 est une base de \R^n, comme souhaité.

Posté par
matheux14
re : Applications linéaires 12-03-23 à 18:41

Après tout il est peut-être intéressant de nous donner tout l'énoncé de ton exo.

Posté par
carpediem
re : Applications linéaires 12-03-23 à 19:06

salut

matheux14 : pourquoi faire l'exercice à la place de cracotte06 ?

cracotte06 @ 12-03-2023 à 17:49

Et que j'ai calculé une base de Im(f) et de Ker(f) dans les questions précédentes.
peut-être nous les donner ...

Posté par
cracotte06
re : Applications linéaires 12-03-23 à 23:23

D'accord je vois comment faire, merci beaucoup pour le gros coup de pouce

Bonne soirée !



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