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Applications linéaires

Posté par
cracotte06 12-03-23 à 17:49

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour une question s'il vous plaît.

Je dois montrer que la réunion des bases de Im(f) et de Ker(f) donne une base de R^n. Sachant que on a :
f ((x1            (x1 + x2 + 2xn
        .        =        x1 + xn
        .                         .
      xn))                    .
                              x1 + xn)

Et que j'ai calculé une base de Im(f) et de Ker(f) dans les questions précédentes. Pourriez-vous me donner un petit coup de pouce car je ne vois pas où aller ?

Merci d'avance.

Posté par re : Applications linéaires 12-03-23 à 18:40

Bonjour,

$f \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 + 2 x_n \\ x_1 + x_n \\ \vdots \\ x_1 + x_n\end{pmatrix}$

Comme ça ?
Pour montrer que la réunion des bases de $\text{Im}(f)$ et de $\text{Ker}(f)$ donne une base de $\R^n$ , tu dois prouver que :

1) Les vecteurs dans cette réunion engendrent $\R^n$ , c'est-à-dire que tout vecteur de $\R^n$ peut être écrit comme une combinaison linéaire de ces vecteurs.

2) Cette réunion est linéairement indépendante, c'est-à-dire que la seule combinaison linéaire des vecteurs qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont nuls.

Si tu as calculé une base de $\text{Im}(f)$ et de $\text{Ker}(f)$ dans les questions précédentes. Supposons que $B_1 = {v_1, v_2, \ldots, v_k}$ est une base de $\text{Im}(f)$ et $B_2 = {u_1, u_2, \ldots, u_{n-k}}$ est une base de $\text{Ker}(f)$ .

Pour prouver que la réunion de $B_1$ et $B_2$ engendre $\R^n$ , tu dois montrer que tout vecteur $\mathbf{x} \in \R^n$ peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs dans $B_1 \cup B_2$ .

En effet, comme $B_1$ est une base de $\text{Im}(f)$ , pour tout $\mathbf{x} \in \R^n$ , il existe un vecteur $\mathbf{y} \in \R^k$ tel que $\mathbf{x} = f(\mathbf{y})$ . On peut alors écrire $\mathbf{y}$ comme une combinaison linéaire de $v_1, v_2, \ldots, v_k$ :

$\mathbf{y} = c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k$

Ainsi,

$\mathbf{x} = f(\mathbf{y}) = f(c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k) = c_1 f(v_1) + c_2 f(v_2) + \cdots + c_k f(v_k)$

Comme $B_2$ est une base de $\text{Ker}(f)$ , pour tout $\mathbf{x} \in \text{Ker}(f)$ , on peut l'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs dans $B_2$ .

Ainsi, tout vecteur $\mathbf{x} \in \R^n$ peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs dans $B_1 \cup B_2$ . Par conséquent, $B_1 \cup B_2$ engendre $\R^n$ .

Maintenant, pour montrer que la réunion de $B_1$ et $B_2$ est linéairement indépendante, tu dois prouver que la seule combinaison linéaire des vecteurs dans $B_1 \cup B_2$ qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont nuls.

Soit $c_1, c_2, \ldots, c_k, d_1, d_2, \ldots, d_{n-k}$ des scalaires tels que

$c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k + d_1 u_1 + d_2 u_2 + \cdots + d_{n-k} u_{n-k} = \mathbf{0}$

Comme $B_1$ et $B_2$ sont des bases, tout vecteur dans $\text{Im}(f)$ peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs dans $B_1$ , et tout vecteur dans $\text{Ker}(f)$ peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs dans $B_2$ . Ainsi, la condition ci-dessus peut être réécrite comme :

$c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k = -d_1 u_1 - d_2 u_2 - \cdots - d_{n-k} u_{n-k}$

Puisque $\text{Im}(f)$ et $\text{Ker}(f)$ sont des espaces vectoriels distincts, cela implique que tous les coefficients $c_i$ et $d_i$ sont nuls. En effet, si un coefficient $c_i$ était non nul, alors $v_i \in \text{Im}(f)$ , ce qui signifierait que $-d_1 u_1 - d_2 u_2 - \cdots - d_{n-k} u_{n-k}$ est dans $\text{Im}(f)$ , ce qui est impossible car c'est le vecteur nul.

De même, si un coefficient $d_i$ était non nul, alors $u_i \in \text{Ker}(f)$ , ce qui signifierait que $c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k$ est dans $\text{Ker}(f)$ , ce qui est impossible car c'est le vecteur nul.

Ainsi, tous les coefficients $c_i$ et $d_i$ sont nuls, ce qui montre que $B_1 \cup B_2$ est linéairement indépendante.

Enfin, pour montrer que $B_1 \cup B_2$ engendre $\R^n$ , notez que tout vecteur $\mathbf{v} \in \R^n$ peut être écrit comme la somme $\mathbf{v} = \mathbf{y} + \mathbf{z}$ , où $\mathbf{y}$ est dans $\text{Im}(f)$ et $\mathbf{z}$ est dans $\text{Ker}(f)$ . Puisque $B_1$ est une base de $\text{Im}(f)$ et $B_2$ est une base de $\text{Ker}(f)$ , il existe des scalaires $c_1, c_2, \ldots, c_k$ et $d_1, d_2, \ldots, d_{n-k}$ tels que :

$\mathbf{y} = c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k$

et

$\mathbf{z} = d_1 u_1 + d_2 u_2 + \cdots + d_{n-k} u_{n-k}$

Ainsi,

$\mathbf{v} = c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k + d_1 u_1 + d_2 u_2 + \cdots + d_{n-k} u_{n-k}$

Cela montre que tout vecteur de $\R^n$ peut être écrit comme une combinaison linéaire de vecteurs dans $B_1 \cup B_2$ , ce qui montre que $B_1 \cup B_2$ engendre $\R^n$ .

Ainsi, $B_1 \cup B_2$ est une base de $\R^n$ , comme souhaité.

Posté par re : Applications linéaires 12-03-23 à 18:41

Après tout il est peut-être intéressant de nous donner tout l'énoncé de ton exo.

Posté par re : Applications linéaires 12-03-23 à 19:06

salut

matheux14 : pourquoi faire l'exercice à la place de cracotte06 ?

cracotte06 @ 12-03-2023 à 17:49

Et que j'ai calculé une base de Im(f) et de Ker(f) dans les questions précédentes.

peut-être nous les donner ...

Posté par re : Applications linéaires 12-03-23 à 23:23

D'accord je vois comment faire, merci beaucoup pour le gros coup de pouce

Bonne soirée !

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