Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau autre
Partager :

Argument complexe

Posté par Profil Timea 20-02-16 à 09:14

Bonjour,

Je souhaite calculer l'argument de l'expression suivante :
e^(i.nt).((sin(n+1)t/2)/sin(t/2) où t est un réel différent de 2kPi.
Puis-je affirmer que l'argument du produit (sin(n+1)t/2)/sin(t/2) est nul ?
Le cas échéant j'obtiens nt comme valeur... Est-ce correct ?

Posté par
mdr_non
re : Argument complexe 20-02-16 à 09:17

bonjour : )

Non, un nombre positif a un argument nul on est d'accord, mais un nombre négatif non.

Posté par Profil Timeare : Argument complexe 20-02-16 à 17:53

merci à toi mdr_non,
mais je ne vois pas comment déterminer le signe du produit...
Y-a-t-il un moyen de simplifier le quotient des 2 sinus ?

Posté par
mdr_non
re : Argument complexe 20-02-16 à 18:46

Le but n'est pas de simplifier ce quotient de sinus.

Tu recherches l'argument du complexe \large \boxed{\frac{\sin\left(\frac{n + 1}{2}t\right)}{\sin \frac{t}{2}}\exp (int)}.

Du message précédent, tu peux écrire tout simplement que :

\large \boxed{\arg \left(\frac{\sin\left(\frac{n + 1}{2}t\right)}{\sin \frac{t}{2}}\exp (int)\right) = \left\{\begin{matrix}nt  [2\pi]  \text{ si } \frac{\sin\left(\frac{n + 1}{2}t\right)}{\sin \frac{t}{2}} > 0
 \\ nt + \pi  [2\pi]  \text{sinon}\end{matrix}\right.}.


D'accord ?

Posté par Profil Timeare : Argument complexe 21-02-16 à 10:40

Ah d'accord.  Un grand merci à toi mdr_non.

Posté par
mdr_non
re : Argument complexe 21-02-16 à 10:42

Je t'en prie : ) bonne continuation : )

Posté par Profil Timeare : Argument complexe 21-02-16 à 16:00

J'ai encore un souci.  .
En fait je souhaite résoudre l'equation 1+cos (t)+cos (2t)+...+cos (nt)=sin (t)+sin (2t)+...+sin (nt)
J'ai montré que si Z désigne un complexe non  nul alors
Re (Z) = Im (Z) ssi Arg (Z)=Pi/4+k.Pi
Puis en posant Z = Sum (e^(ikt)) pour k allant de 0 à n
Et après avoir montré que Z=e^(i. nt/2).sin( (n+1)t/2)/sin(t/2) résoudre l'equation de départ revient à utiliser la formule que tu m'as donné , mdr_non...
Pb quand je résous pour n=1 je devrais trouver comme solutions Pi modulo  2Pi et Pi/2 modulo 2Pi mais ce n'est pas le cas. Je trouve Pi/2+2kPi et -7Pi/4+2kPi...
Je ne vois pas où est l'erreur

Posté par
mdr_non
re : Argument complexe 21-02-16 à 16:49

Une première erreur peut-être c'est que le facteur 1/2 n'apparait pas dans l'exponentielle de ton premier message.
Tu ne m'as pas écrit ce que tu trouvé donc je ne peux dire exactement où tu t'es trompé.

Etant donné l'exercice on aurait pu réécrire l'argument autrement (voir ci-après).

*** *** *** *** ***

Etais-tu obligé de passer par les complexes ?

\large \forall t \in \mathbb{R} - 2\pi\mathbb{Z}, \forall n \in \mathbb{N}, 
 \\ \sum_{k=0}^{n} \cos(kt) = \sum_{k=0}^{n} \sin(kt) \Leftrightarrow \frac{\sin\left (\frac{n + 1}{2}t\right )\cos\left (\frac{n}{2}t\right )}{\sin\left (\frac{t}{2}\right )} = \frac{\sin\left (\frac{n + 1}{2}t\right )\sin\left (\frac{n}{2}t\right )}{\sin\left (\frac{t}{2}\right )} \Leftrightarrow \cos\left (\frac{n}{2}t\right ) = \sin\left (\frac{n}{2}t\right )

Et on termine la résolution avec les méthodes habituelles.

*** *** *** *** ***

Avec les complexes :

\large \forall t \in \mathbb{R} - 2\pi\mathbb{Z}, \forall n \in \mathbb{N}, \text{ posons } Z = \sum_{k=0}^{n} e^{ikt} \in \mathbb{C}^*.

On démontre sans difficulté que \large \boxed{\forall t \in \mathbb{R} - 2\pi\mathbb{Z}, \forall n \in \mathbb{N}, Z = \frac{\sin\left(\frac{n + 1}{2}t\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}\exp{\left(i\frac{n}{2}t\right)}}.

Ainsi, \large \boxed{\forall t \in \mathbb{R} - 2\pi\mathbb{Z}, \forall n \in \mathbb{N}, \arg \left(Z\right) = \left\{\begin{matrix}\frac{n}{2}t  [2\pi]  \text{ si } \frac{\sin\left(\frac{n + 1}{2}t\right)}{\sin \frac{t}{2}} > 0
 \\ \frac{n}{2}t + \pi  [2\pi]  \text{sinon}\end{matrix}\right. = \frac{n}{2}t  [\pi]}.

\large \text{Or } \forall t \in \mathbb{R} - 2\pi\mathbb{Z}, \forall n \in \mathbb{N}, 
 \\ \sum_{k=0}^{n} \cos(kt) = \sum_{k=0}^{n} \sin(kt) \Leftrightarrow \mathrm{Re}(Z) = \mathrm{Im}(Z) \Leftrightarrow \arg \left(Z\right) = \frac{\pi}{4}  [\pi] \Leftrightarrow \frac{n}{2}t = \frac{\pi}{4}  [\pi] \Leftrightarrow ...

Posté par
mdr_non
re : Argument complexe 21-02-16 à 16:52

Dans mon précédent message lire à chaque fois \forall n \in \mathbb{N}^*.

Posté par Profil Timeare : Argument complexe 21-02-16 à 17:26

Mais pour n=1 , on  trouve bien la valeur Pi/2 MAIS PAS Pi...C'est ça que je comprends pas...
Car l'equation 1+cos(t)=sin (t) admet Pi/2 et Pi modulo 2Pi pour solutions. ..

=> Effectivement j'ai omis le facteur 1/2 dans lexpression que je t'ai envoyée.

=> Encore merci pour ta contribution !!

Posté par
mdr_non
re : Argument complexe 21-02-16 à 17:49

C'est normal au contraire, si tu as \pi alors Z est nul.

Posté par
mdr_non
re : Argument complexe 21-02-16 à 18:15

D'ailleurs les équivalences que j'ai écrites sont fausses. Correction donc :

*** *** *** *** ***

\large \forall t \in \mathbb{R} - 2\pi\mathbb{Z}, \forall n \in \mathbb{N}^*, 
 \\ \sum_{k=0}^{n} \cos(kt) = \sum_{k=0}^{n} \sin(kt) \Leftrightarrow \frac{\sin\left (\frac{n + 1}{2}t\right )\cos\left (\frac{n}{2}t\right )}{\sin\left (\frac{t}{2}\right )} = \frac{\sin\left (\frac{n + 1}{2}t\right )\sin\left (\frac{n}{2}t\right )}{\sin\left (\frac{t}{2}\right )} \Leftrightarrow {\red \sin\left (\frac{n + 1}{2}t\right ) = 0} \text{ ou } \cos\left (\frac{n}{2}t\right ) = \sin\left (\frac{n}{2}t\right )

*** *** *** *** ***
\large \forall t \in \mathbb{R} - 2\pi\mathbb{Z}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \text{ posons } Z = \sum_{k=0}^{n} e^{ikt} \in \mathbb{C}.

On démontre sans difficulté que \large \forall t \in \mathbb{R} - 2\pi\mathbb{Z}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}, Z = \frac{\sin\left(\frac{n + 1}{2}t\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}\exp{\left(i\frac{n}{2}t\right)}
et \large Z = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2k\pi}{n + 1}, k \in \mathbb{Z}.

Ainsi, \large \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall t \in \mathbb{R} - 2\pi\mathbb{Z} \cup \left\{\frac{2k\pi}{n + 1}, k \in \mathbb{Z}\right\}, \arg \left(Z\right) = \left\{\begin{matrix}\frac{n}{2}t  [2\pi]  \text{ si } \frac{\sin\left(\frac{n + 1}{2}t\right)}{\sin \frac{t}{2}} > 0
 \\ \frac{n}{2}t + \pi  [2\pi]  \text{sinon}\end{matrix}\right. = \frac{n}{2}t  [\pi]}.

\large \text{Or } \forall t \in \mathbb{R} - 2\pi\mathbb{Z}, \forall n \in \mathbb{N}^*, 
 \\ \sum_{k=0}^{n} \cos(kt) = \sum_{k=0}^{n} \sin(kt) \Leftrightarrow \mathrm{Re}(Z) = \mathrm{Im}(Z) \Leftrightarrow Z = 0 \text{ ou } \left(\arg \left(Z\right) = \frac{\pi}{4}  [\pi] \text{ et } Z \neq 0\right)
 \\ \Leftrightarrow \sin\left (\frac{n + 1}{2}t\right ) = 0 \text{ ou } \frac{n}{2}t = \frac{\pi}{4}  [\pi] \Leftrightarrow ...

Posté par Profil Timeare : Argument complexe 21-02-16 à 20:17

Je crois avoir compris.
Z est réel ssi Z=0 ou Arg (Z)=0 modulo Pi.
Et dans l'exercice j'ai omis de considérer le cas Z=0.
Et le cas t=Pi correspond à Z=0.
Bon je devine que je ne suis pas très claire dans mon raisonnement mais quoiqu'il en soit tu m'as bien aidé ! Bonne soirée à toi :

Posté par
mdr_non
re : Argument complexe 21-02-16 à 20:24

Citation :
Z est réel ssi Z=0 ou Arg (Z)=0 modulo Pi.
Attention aucun rapport. Il ne s'agit pas de traiter un cas Z est réel.

Il s'agit uniquement de traiter deux cas :
1) Le cas Z est nul, dans ce cas on n'a pas d'argument pour Z et :

\large \boxed{\forall t \in \mathbb{R} - 2\pi\mathbb{Z}, \forall n \in \mathbb{N}^*, \sum_{k=0}^{n} \cos(kt) = \sum_{k=0}^{n} \sin(kt) \Leftrightarrow t = \frac{2k\pi}{n + 1}, k \in \mathbb{Z}}

2) Le cas Z est non nul, dans ce cas :

\large \boxed{\forall t \in \mathbb{R} - 2\pi\mathbb{Z}, \forall n \in \mathbb{N}^*, \sum_{k=0}^{n} \cos(kt) = \sum_{k=0}^{n} \sin(kt) \Leftrightarrow t = \frac{\pi}{2n} + \frac{2k\pi}{n}, k \in \mathbb{Z}}


C'est tout ces deux cas donnent toutes les solutions à l'équation étudiée.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !