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Argument forme trigo complexes

Posté par
gautidl 07-09-19 à 20:41

Bonjour,

ma question est : comment déterminer l'argument principal d'un nombre complexe sous la forme trigonométrique.

J'ai remarqué certaines choses mais je ne saurais pas l'expliquer, par exemple :

z = -r (cos(-a) + sin(-a)) : Arg(z) = - a [2 ]
z = -r (cos(a) + sin(a)) : Arg(z) = + a [2 ]

z = r (cos(-a) - sin(-a)) : Arg(z) = a [2 ]
z = r (cos(a) - sin(a)) : Arg(z) = -a [2 ]

z = -r (cos(a) + sin(a)) : Arg(z) = l'autre angle ayant le même sinus sur le cercle trigo

Faut-il utiliser les cos(x)=cos(-x) et sin(-x)=-sin(x) ?
Le module peut-il aider à la résolution graphique ?

Merci beaucoup pour votre aide,
Bonne soirée

Posté par
Pirhore : Argument forme trigo complexes 07-09-19 à 21:08

Bonjour,

pour le 1er ,par exemple, z=-r(cos(a)-sin(a)), le module doit être positif

repasse par la forme exponentielle et çà répondra à ta question

Posté par
gautidlre : Argument forme trigo complexes 07-09-19 à 22:20

Bonjour,
donc z = -r (cos(-a) + sin(-a))
d'où z=-r (cos(a) - sin(a)) comme tu dis.

Or z = reia
Et Module(z) = r.
Et eia = cos(a) + i sin(a)

Je ne vois pas où vous voulez en venir... j'essaie de relier les choses mais je sèche.
Le signe moins devant le sinus m'embête.

Posté par
Pirhore : Argument forme trigo complexes 07-09-19 à 22:37

\large z=-r (cos(a) - sin(a))=-re^{-ia}

\large z=r e^{-ia}(-1)

\large -1= e^{i \pi}

\large z=re^{i(\pi-a)}

Posté par
lafol Moderateurre : Argument forme trigo complexes 07-09-19 à 22:40

Bonsoir
r désigne-t-il un réel ? si oui, ce réel est-il positif ?
sans cette précision, tout ce qui est écrit plus haut devient faux ...

Posté par Profil amethystere : Argument forme trigo complexes 07-09-19 à 22:40

bonjour

la question n'a pas vraiment de sens

parler d'un argument principal pour un complexe z signifie qu'on parle d'un réel u d'un intervalle semi ouvert de type ]a;b] ou de type [a;b]

avec b-a = 2pi

et tel que z=||z|| cos(u)+i.sin(u)

donc quel est l'intervalle que tu te donne ici?

autre question qelles sont précisement tes données

Posté par Profil amethystere : Argument forme trigo complexes 07-09-19 à 22:42

coquille

….de type  ]a;b] ou de type [a;b[

Posté par
Pirhore : Argument forme trigo complexes 07-09-19 à 22:43

lafol

Citation :
r désigne-t-il un réel ? si oui, ce réel est-il positif ?


je l'ai supposé mais tu as raison çà doit être précisé dans l'énoncé

Posté par Profil amethystere : Argument forme trigo complexes 07-09-19 à 22:44

2 ième coquille

z=||z|| cos(u)+i||z||sin(u)

Posté par
gautidlre : Argument forme trigo complexes 08-09-19 à 00:14

Bonsoir lafol, je me suis probablement mal exprimé, r désigne un rayon, avec r ayant la même valeur que le module de z. Donc r est un réel oui, qui peut être négatif. Mais je n'ai pas de souci avec le signe - placé devant r, car un module est toujours positif.

Et merci beaucoup Pirho pour le développement, je comprends aussi pourquoi il n'y a jamais de signe - devant cos(a).

Bonjour amethyste, l'intervalle est dans ]-pi;pi] de mémoire. Et excusez mon étourderie, j'ai oublié tous les "i" dans mon premier message

Et je n'ai pas réellement de données, je dois par exemple donner l'argument principal de z = -72 (cos(-/3) + isin(-/3)) .

Posté par
gautidlre : Argument forme trigo complexes 08-09-19 à 00:31

Finalement j'ai tous réussi à les démontrer avec les indications de Pirho et le cinquième c'est plutôt z = -r (cos(a) - i sin(a)) et est identique au premier  z = -r (cos(-a) + i sin(-a)) et ça se démontre avec cos(x)=cos(-x) et sin(-x)=-sin(x).
C'est ok pour moi, merci pour l'aide.

Posté par Profil amethystere : Argument forme trigo complexes 08-09-19 à 02:08

Salut Gautild

je profite que je sois passé par là pour te proposer cet exo en deux questions 1° et 2°

si ça t'interesse (évidemment)  

notation \left\lfloor  x\right\rfloor pour partie entière inférieure

________________________________
Énoncé

on se donne un quelconque réel \varphi \in \mathbb {R}


1° on se donne un intervalle   I=\left]a;b\right] selon   b-a=2\pi

on recherche l'unique naturel non nul   u\in \mathbb {N}^*   et l'unique réel   \theta  \in I

qui vérifient   \theta =\varphi -2\pi k \in I et   cos \varphi + i sin \varphi = cos \theta  +i sin \theta

avec k= \left(\dfrac {1+\left(-1\right)^u}{2} u-\left\lfloor \dfrac {u}{2}\right\rfloor\right)\in \mathbb {Z}   


2° on se donne un intervalle   I=\left[a;b\right[ selon   b-a=2\pi  

on recherche l'unique naturel non nul   u\in \mathbb {N}^*   et l'unique réel   \theta  \in I

qui vérifient   \theta =\varphi -2\pi k \in I et   cos \varphi + i sin \varphi = cos \theta  +i sin \theta

avec k= \left(\dfrac {1+\left(-1\right)^u}{2} u-\left\lfloor \dfrac {u}{2}\right\rfloor\right)\in \mathbb {Z}   

Posté par
Pirhore : Argument forme trigo complexes 08-09-19 à 08:25

gautidl

Citation :
r désigne un rayon ....  qui peut être négatif  

Posté par
gautidlre : Argument forme trigo complexes 08-09-19 à 21:14

Pirho --> dans l'énoncé il peut y avoir un - devant le rayon, algébriquement il peut être négatif mais il est positif, je n'ai jamais su bien expliquer avec rigueur mais je pense que tu m'as compris.

amethyste --> tes deux questions sont difficiles...
J'ai k = - u/2
= donc -2k=0 ???
Honnêtement je ne sais même pas quoi faire car j'ai l'impression qu'il n'y a que des inconnues...

Posté par
Pirhore : Argument forme trigo complexes 08-09-19 à 21:18

donc r est bien positif

Posté par
gautidlre : Argument forme trigo complexes 08-09-19 à 21:21

Oui c'est un module

Posté par
Pirhore : Argument forme trigo complexes 08-09-19 à 21:23


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