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argument nombres complexes

Posté par
ennaji00001 05-02-19 à 13:19

salut tout le monde
s'il vous plait aider moi à calculer sous forme trigonométrique les nombres complexes suivant:
Z1=cosx+i(1+sinx)
Z2=1-cosx-isinx
c'est combien le module et l'argument
merci infiniment

Posté par
Ramanujanre : argument nombres complexes 05-02-19 à 13:28

La module de z_1  est : \sqrt{\cos^2(x) + (1+\sin^2(x))^2

Or 1+sin^2(x)= 2 - cos^2(x)

Donc ...

Posté par
Pirhore : argument nombres complexes 05-02-19 à 13:31

Bonjour,

Ramanujan ton module est faux sous le radical!

Posté par
malou Webmasterre : argument nombres complexes 05-02-19 à 13:48

et en plus d'être faux, je trouve que le chemin proposé est un détour inutile....

Posté par
ennaji00001re : argument nombres complexes 05-02-19 à 13:53

c'est faux Monsieur  et on plus la méthode ne permet pas de déterminer l'argument

Posté par
etniopalre : argument nombres complexes 05-02-19 à 15:04

cos(x) +i ( 1 + sin(x))  = i + exp(ix) = exp(i/2) + exp(ix) = exp(i(/4 + x/2)).( .... )  

Posté par
jsvdbre : argument nombres complexes 05-02-19 à 15:07

Bonjour ennaji00001.

z_1 = \cos(x) + i(\sin(x) +1) = \cos(x) + i\sin(x) + i=e^{ix}+i

quand x parcourt \R, z_1 parcourt le cercle de centre i et de rayon 1. Il peut donc avoir un argument \theta \in ]0;\pi[.

ennaji00001 @ 05-02-2019 à 13:53

et en plus la méthode ne permet pas de déterminer l'argument

Bah si, précisément c'est la bonne méthode.

|z_1| = \sqrt {\cos^2(x) + (1+\sin(x))^2}=\sqrt{2+2\sin(x)}=\sqrt 2 \sqrt{\sin(x)+1}

On a donc

|z_1| = \sqrt 2 \sqrt{1+\sin(x)}\left(\dfrac{\cos(x)}{\sqrt 2 \sqrt{1+\sin(x)}}+i\dfrac{\sin(x)+1}{\sqrt 2 \sqrt{1+\sin(x)}}\right)=\sqrt 2 \sqrt{1+\sin(x)}\left(\dfrac{\cos(x)}{\sqrt 2 \sqrt{1+\sin(x)}}+i\dfrac{\sqrt{1+\sin(x)}}{\sqrt 2 }\right)

reste à voir que \dfrac{\sqrt{1+\sin(x)}}{\sqrt 2 } =\left|\sin\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)\right| , mettre le bon intervalle d'étude pour x, étudier la période ...

... et conclure ...

Posté par
malou Webmasterre : argument nombres complexes 05-02-19 à 15:07

un petit regard géométrique

argument nombres complexes

Posté par
etniopalre : argument nombres complexes 05-02-19 à 15:07

Si tu fais un dessin , tu peux trouver module et argument de i + exp(ix)  sans l'astuce que j'ai proposée .

Posté par
malou Webmasterre : argument nombres complexes 05-02-19 à 15:08

quel tir groupé ....

Posté par
jsvdbre : argument nombres complexes 05-02-19 à 15:10

Oui, rien pendant plus d'une heure et soudainement la foudre se déchaîne

Posté par
jsvdbre : argument nombres complexes 05-02-19 à 15:10

Qu'est-ce-qu'on peut être studieux dans nos "foyers" !

Posté par
ennaji00001re : argument nombres complexes 05-02-19 à 15:34

merci Monsieur
pour le module c'est bien mais comment peut on écrire
cos(x)/ (\sqrt{2} .\sqrt{1+sin(x)} sous forme de  cos(y) tel que y est l'argument.
je crois qu'il y a autre chose à faire

Posté par
jsvdbre : argument nombres complexes 05-02-19 à 17:16

Tu trouves un argument via la partie imaginaire.
Et donc tu pourras écrire \dfrac{\cos(x)}{\sqrt{2} .\sqrt{1+\sin(x)}} = \cos(\theta)

Posté par
carpediemre : argument nombres complexes 05-02-19 à 17:33

salut

je pose p = \dfrac {\pi} 2

z = \cos x + i (1 + \sin x) = \cos x + \cos p + i(\sin x + \sin p) = 2\cos \dfrac {x + p} 2 \cos \dfrac {x - p} 2 + i \left( 2 \sin \dfrac {x + p} 2 \cos \dfrac {x - p} 2 \right) = 2 \cos \dfrac {x - p} 2 e^{i\dfrac {x + p} 2}

il reste alors à discuter du signe du coefficient de l'exponentielle ... sachant que -1 = e^{i\pi}

Posté par
carpediemre : argument nombres complexes 05-02-19 à 17:40

je pose x = 2y

z = 1 - \cos x - i \sin x = 2 \sin^2 y - 2i \sin y \cos y = 2 \sin y ( \sin y - i \cos y) = -2i \sin y (\cos y + i \sin y) = ...

sachant que -1 = e^{i\pi}  et  i = e^?

Posté par
etniopalre : argument nombres complexes 05-02-19 à 18:40

Avec ma façon de faire et en utilisant la relation  ( valable pour tout (s , t) ² )  
exp(is) + exp(it) = exp(i(s + t)/2). exp(i(s - t)/2) + exp(i(t - s)/2)  = 2cos((s - t)/2).exp(i(s+t)/2 )   en prenant s =  /2 et t = x  tu obtiens
cos(x) + i(1 + sin(x)) = 2cos(/4 - x/2) . exp(i (/4 + x/2))

Si tu veux  un argument  de  cos(x) + i(1 + sin(x))  ,  il te faudra trouver les x pour lesquels   u(x) :=  cos(/4 - x/2)   est >  0  et  ceux pour lesquels  u(x)  est < 0  .


Posté par
vhamre : argument nombres complexes 05-02-19 à 19:55

Bonsoir,

Pour aller dans le sens de Malou et ouvrir une voie "géométrique" immédiate :
\widehat{BIM'} = \widehat{AOM}  \text{ par translation et }argument(Z1)= \widehat{AOM'}=\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\widehat{AOM}}{2} \text{ par angle inscrit}

L'obtention du module(Z1)=OM' est tout autant immédiat.

argument nombres complexes


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