Annuler
connectez vous
analyse complexe en post-bac
- Les nombres complexes - supérieur
- Nombres complexes : les classiques
- Ensemble et application Partie II
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... École ingénieur Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau école ingénieur
Arguments nombres complexes
Posté par Voxlay
Bonjour, j'ai un exercice de mathématiques à terminer mais je suis bloqué.
Enoncé :
Soit z
. On note x=Re(z), y=Im(z), r=|z|;
et on note 
l'argument principal de z c'est à dire l'unique réel tel que ]-
;] et z=r*exp(i)
1) Donnez un exemple de nombre complexe z=x+iy dont arctan(y/x) n'est pas un argument.
2) Montrez que si x>0, alors =arctan(y/x)
3) Montrez que si ]-;], alors =2*arctan(sin/(1+cos))
4) Dans le cas où z n'est pas un réel négatif ou nul, exprimez en fonction de x et de y.
J'ai réussi la première question, mais je bloque dès la 2ème... Pouvez-vous m'aider ? Merci
Bonjour !
2. Tu as juste à vérifier que la valeur proposée est UN argument et qu'elle est dans l'intervalle voulu .
3. Compares les tangentes de et de la valeur proposée !
Bonjour ! Désolé de la réponse tardive, j'ai finalement réussi les 3 premières questions, merci 
Je reste cependant bloqué pour la dernière..
Bonsoir.
luzak a "presque" raison.
On peut dire comme luzak qu'il suffit de calculer sin et cos à partir de x, y et r qui vaut 
(x²+y²).
Mais si tu veux une formule du genre =f(x,y), c'est un petit peu plus compliqué.
En fait, il faut distinguer les 3 cas x<0, x=0 et x>0
Le cas x=0 est trivial : =[signe(y)]/2
Dans chacun des 2 autres cas tu trouveras facilement une certaine - et simple - fonction de Arctan(y/x).
A +
Bonsoir !
Pas mon avis !
Pour les complexes qui ne sont pas réels négatifs, est une "formule" donnant l'argument principal de
: aucun besoin de distinguer des cas. La seule exclusion est
.
Je crois même que cette formule est "officiellement" au programme des prépas !
Et c'est bien plus pratique que les avec les corrections en
selon les signes de
.
Bonsoir Voxlay,
Quelques mots d'explication.
Trouver l'argument sur ]-;] d'un complexe x+iy peut se faire de deux façons :
Méthode 1 (classique)
Si x est nul, alors = signe(y)
/2
Si x n'est pas nul on calcule d'abord l'angle 
= Arctan(y/x) qui donne entre -/2 et /2.
Puis on regarde le signe de x :
Si x>0, =
Si x<0 et y>0 alors =+
Si x<0 et y<0 alors =-
Méthode 2
On peut "résumer" toutes les options décrites plus haut par une formule simple : =2Arctan{y/[x+(x²+y²)]}.
Tu peux comprendre visuellement cette formule en considérant un cercle de centre O (rayon quelconque), un diamètre AB, M un point du cercle et H sa projection sur l'axe OB. OB est l'axe des abscisses du repère orthonormé d'origine O.
Le point M a pour coordonnées x et y. Le rayon du cercle vaut donc R = (x²+y²)
Le point H a pour coordonnées x et 0.
L'angle cherché () est (MOB). On voit que tan()=y/x
On sait (règle sur l'angle inscrit et l'angle au sommet interceptant un même arc de cercle) que l'angle (MAB) vaut la moitié de l'angle (MOB).
L'intérêt de (MAB) est qu'il est compris entre -/2 et /2.
Tan(MAB)=y/(AH)=y/(AO+OH)=y/(OH+R)=y/[x+(x²+y²)]
Donc (MAB)=Arctan{y/[x+(x²+y²)]}
Or (MAB)=/2
D'où la formule : =2Arctan{y/[x+(x²+y²)]}
A +