Bonjour,

Arithmétique

Merci cette page m a beaucoup aide

Je détaille ce que je n'ai pas fait dans le lien:

(p-1)!=-1(p) par Wilson.

Ensuite (p-1)!=1.2.3.....((p-1)/2))(-1)(-2).....(-(p-1)/2))=(-1)^((p-1)/2))((p-1)/2)!)^2=((p-1)/2)!)^2=-1(p)

je bkoque desormais sur cette question
soit n=p^k avec p premier et k dans N*

1)avec p=2 montrer que (En) admets des solution ssi k=1

2)montrer que (En)n a pas de solution si p=3(4)

pour la 1) je me demande si je ne peux pas faire une recurence en montrant que cela est impossible si k=2 puis par hypothese de recurence montrer que cela nest pas possible egalement pour k+1
est ce bon?Y a t il une methode meilleur

bonjour finalement je ne pense pas que la recurence soit un bon choix je pense que dois essayer par l absurde mais je n arrive pas a decollé?
Comment puis je faire

je vien de trouver pour la question 1
il suffit de demontrer que si En est solution alors Ed est solution egalement dans ce cas on montre alor que 4 nest pas solution. Cela devient absurde car si on suppose que k ne est different de 1 alor 4 devrait etre solution ce qui est impossible.Enfin jespere que cela est bon^^.  

Tu veux dire Ep?

non (mais j ai oublier de le signaler) quand je parle de Ed ,d sont les diviseurs de n.Or, comme k est superieur a 2, 4 divise 2^k donc 4 devrait etre solution ce qui est absurde donc forcement k=1

4 divise 2^k donc si 2^k divise x²+1 on aurait 4 qui divise x²+1  or E4 n'a pas de solution c'est ca?

oui c est ca

par contre je bloque encore sur la 2                                         soit n=p^k avec p premier et k dans N*
2)montrer que (En)n a pas de solution si p=3(4)

Si k=1,on se retrouve à la question 1) vu que si p impair alors x²=-1 a une solution ssi p=1(mod 4).

Si k>1 alors si x²=-1(p^k) alors p^k divise x²+1 donc p divise x²+1 impossible.

bonjour
merci deja pour votre aide cauchy j ai reussi a finir cette exercice
Cependant j ai lu dans un livre un exercice ou l enoncer est identique mais ou les questions different quelque peu(je suppose que les questions doivent etre issues d un meme probleme)

pour tout entier n =>2 on note (En) l equation x^2=-1 mod n
soit p un nombre premier et n=p^k k dans N*

on suppose que p= 1 mod 4
En admettant que (Ep) admette une solution (c est ce dont vous m avez aide). On va montrer qu il en est de meme pour n=p^k .On suppose qu il existe x tel que x^2=-1 mod p^k
on cherche donc a montrer qu il existe y tel que y^2=-1 mod p^(k+1)
1a) expliquer pourquoi il est raisonnable de poser y=x+u*p^k avec u dans Z

1b) soit v tel que x^2=-1+vp^k. Montrer que pour que y convienne, il suffit de prendre u tel que 2*u*x=-v mod p

1c) Montrer qu il existe bien y tel que y^2=-1 mod p^(k+1)

j arrive a faire les question b et c mais je bloque sur la a? Voyez vous comment puis je faire? je n arrive pas a voir a quel equation y verifirait.

Si on cherche y tel que y²=-1(p^(k+1)) alors nécessairement on a aussi y²=-1(p^k) et x²=-1(p^k) soit p^k divise y²-x²=(y-x)(y+x).

L'un des deux facteurs n'est pas divisible par p sinon on aurait par exemple x=0(p) ce qui est impossible du fait que x²=-1(p^k).

Donc p^k divise y-x ou y+x soit y-x=up^k d'ou y=x+up^k ou y=-x+up^k soit -y=x-up^k mais si -y convient y convient aussi.

Tu peux me tutoyer stp

Je suis intéressé si il y a une suite à ce probleme ou bien à ton exo du dessus

il y a bien une suitea cette exercice
on se place dans le cas general
soit a, b premier entre eux a,b dans N*
montrer que Eab admet une solution ssi Ea et Eb admettent des solution

trouver alors E225
225=25*13

a b premeir entre dans N*
montrer qe Eab admet une solution ssi Ea et Eb admettent une solution

donner alors une CNS et trouver E225

En fait pour au-dessus on aurait pu faire le raisonnement avec b à la place de -1.

Si Eab a une solution on a facilement que Ea et Eb en ont une,pour la réciproque il faut utiliser le lemme chinois.

Qu'est ce qu'on entend par trouver E(225)?

Bon si je traduis,

on a 5²=-1(13)

et 7²=-1(25).

Si on pose z=18 alors z=-7(25) et z=5(13) soit z²=-1(25) et z²=-1(13) donc z²=-1(225).

Bien sur il y a d'autres solutions z=-18,57,-57.