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Niveau terminale
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Arithmétique

Posté par
Krayz 21-04-18 à 13:42

Bonjour,

Pouvez-vous m'aider à résoudre cette question s'il vous plaît ?
Il s'agit d'une question ouverte proposée par mon professeur.

Citation :
On pose a=2+\sqrt{3} et b=2-\sqrt{3}

1) Montrer que pour tout entier naturel n, il existe x_n et y_n entiers naturels tels que :

a^n=x_n+y_n\sqrt{3} et b^n=x_n-y_n\sqrt{3}


Formule du binôme de Newton ?

Bonne journée.

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 13:49

Bonjour,

Plutôt une récurrence.

   a^n=x_n+y_n\sqrt{3} avec x_n et y_n entiers.

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 13:59

Il faudra donc faire deux récurrences ?

Une pour démontrer a^n puis une deuxième pour démontrer b^n ?

Posté par
malou Webmasterre : Arithmétique 21-04-18 à 14:03

quand on aime, on ne compte pas ....

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 14:04

Oui, pourquoi pas.

On pourrait éventuellement prendre un raccourci  en remarquant que x_n^2-3y_n^2=1 et que a^nb^n=1...

Mais fait déjà une récurrence pour a^n

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 14:05

D'accord, c'est tout simple en fait

Je pourrais donc par la suite en déduire x_{n+1} et y_{n+1} en fonction de x_n et y_n.

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 14:06

Toutafé; des suites...

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 14:07

lake @ 21-04-2018 à 14:04

On pourrait éventuellement prendre un raccourci  en remarquant que x_n^2-3y_n^2=1 et que a^nb^n=1...


C'est demandé plus loin dans l'exercice

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 14:08

Ah!

Bonjour malou

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 14:23

On a aussi de "jolies" formules:

  \begin{cases}x_n=\dfrac{(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n}{2}=\dfrac{a^n+b^n}{2}\\\\y_n=\dfrac{(2+\sqrt{3})^n-(2-\sqrt{3})^n}{2\sqrt{3}}=\dfrac{a^n-b^n}{2\sqrt{3}}\end{cases}

  qui sont peut-être aussi dans ton exercice...

Posté par
carpediemre : Arithmétique 21-04-18 à 14:34

mais pourquoi extrapoler ? ...

Krayz @ 21-04-2018 à 14:07


C'est demandé plus loin dans l'exercice
donc à nouveau on n'a pas l'énoncé complet ...

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 14:35

Pourquoi pas?

Posté par
carpediemre : Arithmétique 21-04-18 à 14:55

pourquoi donner les réponses aux questions de l'énoncé que l'on n'a pas ?

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 15:02

De deux choses l'une:

  ou bien ces formules figurent dans l'énoncé et je n'ai pas divulgué grand chose. On verra la suite.

l'autre: ou bien elles n'y figurent pas et Krayz pourra réfléchir utilement à leur sujet.

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 15:47

Citation :
On pose a=2+\sqrt{3} et b=2-\sqrt{3}

1) Montrer que pour tout entier naturel n, il existe x_n et y_n entiers naturels tels que :

a^n=x_n+y_n\sqrt{3} et b^n=x_n-y_n\sqrt{3}


• Définition : Pour tout entier naturel n, notons P_n : "il existe deux nombres entiers naturels \(x_n\) et \(y_n\) tels que \(a^n=x_n+y_n\sqrt{3}\) et \(b^n=x_n-y_n\sqrt{3}\)"

• Initialisation :

P_0 : \(a^0=1=1+0\times\sqrt{3}\) et \(b^0=1=1-0\times \sqrt{3}\) : on prend donc \(x_0=1\) et \(y_0=0\).

De même, \(P_1\) est vraie avec \(x_1=2\) et \(y_1=1\).

• Hérédité :

Supposons que pour un rang \(n\) donné, la propriété \(P_n\) soit vraie : cela signifie qu'il existe deux nombres entiers naturels \(x_n\) et \(y_n\) tels que \(a^n=x_n+y_n\sqrt{3}\) et \(b^n=x_n-y_n\sqrt{3}\).

Démontrons alors que P_{n+1} est vraie c'est-à-dire qu'il existe deux nombres entiers naturels \(x_{n+1}\) et \(y_{n+1}\) tels que \(a^{n+1}=x_{n+1}+y_{n+1}\sqrt{3}\) et \(b^{n+1}=x_{n+1}-y_{n+1}\sqrt{3}\).

\(a^{n+1}=a^n\times a\) et \(b^{n+1}=b^n\times b\)

Le début est bon ?

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 15:59

Ce n'est pas fini, il faut calculer x_{n+1} et y_{n+1} en fonction de x_n et y_n pour montrer que ce sont bien des entiers naturels.

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 16:00

lake @ 21-04-2018 à 15:59

Ce n'est pas fini, il faut calculer x_{n+1} et y_{n+1} en fonction de x_n et y_n pour montrer que ce sont bien des entiers naturels.



Il s'agit de la question suivante.

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 16:02

Pour l'instant, l'hérédité n'est pas prouvée.

Pour faire une récurrence correcte, il faut montrer que x_{n+1} et y_{n+1} sont des entiers naturels.

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 16:12

C'est l'objet de la question 2) mais voici :

a^{n+1}=x_{n+1}+y_{n+1}\sqrt{3}\) et \(b^{n+1}=x_{n+1}-y_{n+1}\sqrt{3}\).

x_{n+1} = a^{n+1}-y_{n+1}\sqrt{3}\
x_{n+1}=b^{n+1}+y_{n+1}\sqrt{3}

x_{n+1} = (a^n\times a\))-y_{n+1}\sqrt{3}\
x_{n+1}=(b^n\times b\))+y_{n+1}\sqrt{3}

x_{n+1} = ((x_n+y_n\sqrt{3})\times a\))-y_{n+1}\sqrt{3}\
x_{n+1}=((x_n-y_n\sqrt{3})\times b\))+y_{n+1}\sqrt{3}

x_{n+1} = ((x_n+y_n\sqrt{3})\times (2+\sqrt{3})\))-y_{n+1}\sqrt{3}\
x_{n+1}=((x_n-y_n\sqrt{3})\times (2-\sqrt{3})\))+y_{n+1}\sqrt{3}

Et je développe ?

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 16:18

Ça ne va pas; il faut écrire:

  a^{n+1}=a^n.a=(x_n+y_n\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=\underbrace{2x_n+3y_n}_{x_{n+1}}+\underbrace{(x_n+2y_n)}_{y_{n+1}}\sqrt{3} \\

   x_{n+1} et y_{n+1} sont bien des entiers naturels.

Même chose pour b^{n+1}

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 16:19

Oui, je suis d'accord avec toi.

C'est un peu ce que j'avais écrit non ?

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 16:23

Un peu, oui, mais pourquoi ne pas écrire a^{n+1}=a^n.a=\cdots (comme j'ai fait) ?

C'est réglé en une petite ligne...

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 16:29

b^{n+1}=b^n.b=(x_n-y_n\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=\underbrace{2x_n+3y_n}_{x_{n+1}}+\underbrace{(x_n+2y_n)}_{y_{n+1}}\sqrt{3}

x_{n+1} et y_{n+1} sont bien des entiers naturels.

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 16:31

Non, c'est faux; il y a une erreur de signe

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 16:32

b^{n+1}=b^n.b=(x_n-y_n\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=\underbrace{2x_n+3y_n}_{x_{n+1}}-\underbrace{(x_n+2y_n)}_{y_{n+1}}\sqrt{3}

x_{n+1} et y_{n+1} sont bien des entiers naturels.

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 16:36

Oui; comme tu t'y prenais à 16h12, tu partais du principe que a_{n+1} est de la forme x_{n+1}+y_{n+1}\sqrt{3}, alors que c'est ce qu'on veut prouver (avec des entiers naturels pour x_{n+1} et y_{n+1})

La méthode n'était pas terrible...

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 16:44

Citation :
On pose a=2+\sqrt{3} et b=2-\sqrt{3}

1) Montrer que pour tout entier naturel n, il existe x_n et y_n entiers naturels tels que :

a^n=x_n+y_n\sqrt{3} et b^n=x_n-y_n\sqrt{3}


• Définition : Pour tout entier naturel n, notons P_n : "il existe deux nombres entiers naturels \(x_n\) et \(y_n\) tels que \(a^n=x_n+y_n\sqrt{3}\) et \(b^n=x_n-y_n\sqrt{3}\)"

• Initialisation :

P_0 : \(a^0=1=1+0\times\sqrt{3}\) et \(b^0=1=1-0\times \sqrt{3}\) : on prend donc \(x_0=1\) et \(y_0=0\).

De même, \(P_1\) est vraie avec \(x_1=2\) et \(y_1=1\).

• Hérédité :

Supposons que pour un rang \(n\) donné, la propriété \(P_n\) soit vraie : cela signifie qu'il existe deux nombres entiers naturels \(x_n\) et \(y_n\) tels que \(a^n=x_n+y_n\sqrt{3}\) et \(b^n=x_n-y_n\sqrt{3}\).

Démontrons alors que P_{n+1} est vraie c'est-à-dire qu'il existe deux nombres entiers naturels \(x_{n+1}\) et \(y_{n+1}\) tels que \(a^{n+1}=x_{n+1}+y_{n+1}\sqrt{3}\) et \(b^{n+1}=x_{n+1}-y_{n+1}\sqrt{3}\).

a^{n+1}=a^n.a=(x_n+y_n\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=\underbrace{2x_n+3y_n}_{x_{n+1}}+\underbrace{(x_n+2y_n)}_{y_{n+1}}\sqrt{3}

b^{n+1}=b^n.b=(x_n-y_n\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=\underbrace{2x_n+3y_n}_{x_{n+1}}-\underbrace{(x_n+2y_n)}_{y_{n+1}}\sqrt{3}

x_{n+1} et y_{n+1} sont bien des entiers naturels.

P_{n+1} est vraie.

• Conclusion :

La propriété P_n est initialisée au rang n=0, elle est héréditaire, donc vraie pour tout entier naturel n.

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 16:47

Oui, mais bon: tout ceci est de la rédaction; ce n'était pas la peine de tout reprendre. L'important est que tu aies compris le principe.

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 16:50

Oui, j'ai parfaitement compris

Citation :
2) Exprimer x_{n+1} et y_{n+1} en fonction de x_n et y_n.


Il est trivial de se servir de la 1)

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 16:53

Je n'aime pas le mot mais tu as raison

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 16:59

\forall n \in \mathbb{N},

x_{n+1}=2x_n+3y_n
y_{n+1}=x_n+2y_n

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 17:00

Voui!

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 17:09

Citation :
3) Montrer que x_n^2-3y_n^2=1 et que x_ny_{n+1}-x_{n+1}y_n=1.


Démonstration par récurrence ? Grâce aux deux questions précédentes ?

Avec quelle méthode gagne-t-on au change ?

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 17:14

Tu calcules x_{n+1}^2-3y_{n+1}^2 avec les formules précédentes.

En principe tu tombes sur x_n^2-3y_n^2

Ce qui signifie que la suite (x_n^2-3y_n^2) est constante et tous ses termes valent x_0^2-3y_0^2

Pour l'autre, tu peux déjà remplacer x_{n+1} et y_{n+1} puis regarder...

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 17:34

J'ai également eu cette idée car j'avais déjà eu un exercice de ce genre

x_{n+1}^2-3y_{n+1}^2 = (2x_n+3y_n)^2-3(x_n+2y_n)^2
x_{n+1}^2-3y_{n+1}^2 = 4x_n^2+12x_ny_n+9y_n^2-(3x_n^2+12x_ny_n+12y_n^2)
x_{n+1}^2-3y_{n+1}^2 = 4x_n^2+12x_ny_n+9y_n^2-3x_n^2-12x_ny_n-12y_n^2
x_{n+1}^2-3y_{n+1}^2 = x_n^2-3y_n^2

La suite (x_n^2-3y_n^2)_{n\in\mathbb{N}} est constante ce qui signifie que l'ensemble de ses termes est égal à x_0^2-3y_0^2 où :

y_0=0
x_0=1.

Ainsi, x_n^2-3y_n^2 = x_0^2-3y_0^2 = 1^2-3\times0^2 = 1.

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 17:43

x_ny_{n+1}-x_{n+1}y_n=x_n(x_n+2y_n)-y_n(2x_n+3y_n) \\ x_ny_{n+1}-x_{n+1}y_n=x_n^2+2y_nx_n-2y_nx_n-3y_n^2 \\ x_ny_{n+1}-x_{n+1}y_n=x_n^2-3y_n^2 \\ x_ny_{n+1}-x_{n+1}y_n=1

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 17:54

Ben oui, en doutais-tu ?

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 17:59

Autre solution pour la première formule:

  ab=1 donc a^nb^n=1

ou encore:  (x_n+y_n\sqrt{3})(x_n-y_n\sqrt{3})=x_n^2-3y_n^2=1

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 17:59

Pas du tout J'aime bien le démontrer par contre

a^nb^n=(ab)^n=((2+V3)(2-V3))^n=1^n=1

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 17:59

Messages croisés, nous sommes médiums

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 18:00

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 18:07

Il va bientôt être temps de commencer l'arithmétique proprement dite

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 18:09

Citation :
En déduire que les fractions suivantes sont irréductibles :

1) \frac{x_n}{y_n}

2) \frac{x_{n+1}}{x_n}

3) \frac{y_{n+1}}{y_n}


Une fraction est irréductible si et seulement si le PGCD(numérateur, dénominateur)=1.

\longrightarrow Grâce à la question 3) il est trivial d'affirmer que :

PGCD(x_n, y_n)=1
PGCD(x_{n+1}, x_n)=1
PGCD(y_{n+1}, y_n)=1

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 18:14

Oui. C'est une application directe de Bachet Bezout.

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 18:16

Oui, le fameux théorème de Bézout

Ma réponse est suffisante ou je dois développer en disant que PGCD(a²,b²)=PGCD(a,b) ?

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 18:20

Pas nécessaire, avec x_n^2-3y_n^2=1, tu as bien un u=x_n et v=-3y_n entiers tels que ux_n+vy_n=1

Je dois quitter provisoirement mais je repasserai tout à l'heure si personne n'est intervenu...

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 18:24

Pas de soucis, j'ai tout compris

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 19:05

Citation :
4) On note X_n=\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}.

Montrer qu'il existe une matrice A carrée de dimension 2 telle que X_{n+1}=AX_n.


X_{n+1}=\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_n+3y_n\\x_n+2y_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 3\\1 & 2 \\ \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}=AX_n

Ainsi, A = \begin{pmatrix}2 & 3\\1 & 2 \\ \end{pmatrix}.

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 19:10

Oui, bien sûr!

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 19:13

Citation :
5) On note P=\begin{pmatrix}\sqrt{3} & \sqrt{3}\\-1 & 1 \\ \end{pmatrix}, montrer que D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}b & 0\\0 & a \\ \end{pmatrix}.


Je pense que la meilleure façon de faire est de faire le produit matriciel D=P^{-1}AP à la main.

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