L'équation admet des solutions entières car a et b premiers entre eux. (équa diophantienne)

Les solutions sont de la forme et
et positifs équivaut à
  et
Soit  

Il faut voir à quelle condition il y a un entier dans ce même intervalle

salut

je comprend pas bien cet enoncé  si u et v sont premier entre eux alors pgcd(u,v)= 1
et l'equation ux + vy = n admet une solution si  n est un multiple du pgcd de u et v  on doit donc avoir n = k.pgcd(u,v)  comme pgcd(u,v)= 1  alors  n = k.1    donc n'importe quel n pourrait convenir .. ou quelque chose m'echappe ....

Salut flight.

On a

salut

soit p et q des entiers relatifs tel pu + qv = 1

soit n un entier tel qu'il existe des entiers x et y positifs tels que n = ux + vy  (P)

alors n + 1 = ux + vy + pu + qv = u(x + p) + v(y + q)

donc n + 1 vérifie P <=> x + p 0 et y + q 0


autre façon de voir les choses ....

on peut supposer u < v

tout multiple xu de u répond à la question

à tout multiple de xu de u je peux ajouter tout multiple yv de v pour obtenir n = xu + yv


soit alors n un entier strictement compris entre xu et (x + 1)u alors n = xu + r avec 0 < r < u

je considère alors les (x - p)u + qv avec 0 < p < x ....

bon pour revenir un peu dans les détails :

1/ montrer que pour tout entier n uv il existe des entiers positifs x et y tels que n = xu + yv

2/ regarder ce qui se passe dans le rectangle [0, u] x [0, v]

...

Bonsoir merci pour vos réponses mais je comprends pas tout ...

Pour donner un exemple :
on prend u=3 et v=7.

On regarde alors les entiers de la forme ux+vy avec x et y entiers positifs.

On va avoir comme résultats possibles
0 ; 3 ; 6 ; 7 ; 9 ; 10 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ;  . . .

Il est clair que l'on va pouvoir obtenir sous cette forme tous les entiers positifs à partir de 12 :
il suffit d'ajouter un multiple de 3 à 12, 13 ou 14.

Les entiers que l'on ne peut pas obtenir sous cette forme sont donc :
1 ; 2; 4 ; 5 ; 8 et 11.

Il y en a 6 ce qui est bien égal à .

Ah oui daccord merci je comprends mieux !

Du coup je comprends bien ce qu'il se passe mais j'ai pas réussi à retrouver la formule demandée en général ...

si on considère Z/uZ et Z/vZ
je remarques les choses suivantes:



de même:



soit:

avec   

supposons:

  d'après ce qui précède ce k s'écrit :
avec
dans ce cas n s'écrit:

ce reste  positif est un multiple de u car n et pv
sont tous congrus à k modulo u.
Donc n = p v + qv.
le même raisonnement pour n>=(v-1)u.
A suivre

Merci nakhal69 mais je vois pas ou va mener votre raisonnement .. pouvez vous m'expliquer un peu plus svp ?

merci de votre question:

jusqu'à maintenant j'ai démontré que:
si    ou Alors n s'écrit comme xu + yv  
avec (x,y) tous les deux positifs.
reste les nombre inférieurs inf(u(v-1),v(u-1)):
parmi ces derniers il ya ceux qui peuvent être exprimés sous la forme (xu + yv) comme par exemple: u , 2u ,....., et v,2v,.... et aussi les: u+v, 2u+v, u + 2v, ...
et ceux qui ne peuvent pas être exprimés. comme u+1,v+1,....,
j'ai aimé partagé une idée qui m'est venu dans la tête avec le public
mais ce n'est pas encore terminé

D'accord merci