salut



il suffit dont d'étudier la fonctions

sinon les deux solutions sont évidentes quand on connait ses tables de multiplication ...

ça fait une solution ...

On peut choisir aussi

Bonjour,
As-tu essayé de représenter la fonction avec un grapheur quelconque ?
Puis d'y regarder quand est possible avec a entier et a < b ?

j'ai pas trouvé la deuxième solution ... j'ai tracé oui mais j'ai pas trouvé

2^2 = 2^2

2^4 = 4^2

...

oui mais la deuxième solution sans que x = y c'est laquelle ?

Bonsoir

Si on cherche les solutions x y, on peut noter que si r et n sont des entiers strictement positifs avec r > 2 alors r^r+n > (r+n)^r.

Donc, pour avoir les solutions entières, il suffit d'envisager x = 1 et x = 2.

Sinon, de manière générale, si on substitue y = vx dans l'équation x^y = y^x, on peut obtenir la "paramétrisation" des solutions de l'équation.

Bonjour,
La fonction présente un maximum égal à 1/e pour x = e .
L'équation ne peut avoir plus de 2 solutions.
Quand elle a 2 solutions a et b avec a < b , dans quel intervalle se trouve a ?
Avec a entier, il n'y a pas 36 possibilités.

si morgane55 avait fait son travail et l'étude de la fonction f elle aurait vu  ce que Sylvieg dit

il est évident que les solution de l'équation f(x) = f(y) pour un x fixé admet toujours la solution y = x

la deuxième solution se déduit des variations de f ...

PS : c'est ainsi que l'on fait pour résoudre les équations trigonométriques cos x = r avec -1 r 1 (ou avec sinus)

1/ on cherche une solution particulière a telle que cos a = r
2/ on donne l'ensemble des solutions par périodicité

c'est aussi la même chose avec les congruences quand on veut résoudre une équation du type

1/ on cherche une solution particulière
2/ on utilise la périodicité des restes

c'est encore la même chose avec le théorème de Bézout quand il faut trouver les entiers u et v tels que xu + yv = n

1/ on cherche une solution particulière (a, b)
2/ on conclut avec le théorème de Gauss et l'équation x(u - a) + y(v - b) = 0


faire des mathématiques c'est comprendre que tous ces pb sont identiques ... et que il n'y a pas une méthode pour résoudre chacun mais la même méthode ou principe général ...

Pour reprendre l'idée de jsvdb, mais sans r+n :

La fonction est décroissante stricte sur [e ; +[ .
D'où
Si e < a < b alors f(a) > f(b) , donc f(a) f(b) , donc a^b b^a .

Si x et y sont deux entiers distincts supérieurs stricts à 2, alors x^y y^x .