On peut essaye rd'utiliser ça :
Soient P l'ensemble des nombres premiers et  S l'ensemble des applications de P dans   ayant  un  support fini  (càd  nulles sauf sur une partie finie)
On sait que l'application  f : s p^u(p) est bijective de S sur * .

Si s et t  sont dans S   on a alors
pgcd(f(s),f(t)) = f(st)  où st  est p Min(s(p) , t(p))   et
ppcm(f(s),f(t)) = f(s s)  où st est p Max(s(p) , t(p))

salut

soit p = (a,b), q = (b, c), r = (c, a), d = (a, b, c) , x = ppcm (a, b), y = ppcm (b, c) , z = ppcm (c, a) et m = ppcm (a, b, c)

a = pa' = ra"
b = pb' = qb"
c = qc' = rc"

p = dp'
q = dq'
r = dr'

tu as maintenant out pour montrer cette égalité ...

PS : évidemment je montrerai l'égalité des "produits en croix" pour ne pas m'emmerder avec des fractions ...

salut

si on remplace pgcd(a,b,c) par  ppcm(a,b,c).a.b.c  
ppcm(a,b)=pgcd(a,b).a.b
ppcm(a,c)=pgcd(a,c).a.c
ppcm(b,c)=pgcd(b,c).b.c

dans le membre de gauche on trouve immédiatement le membre de droite

rectification

si on remplace pgcd(a,b,c) par a.b.c  / ppcm(a,b,c)
ppcm(a,b)=a.b/pgcd(a,b
ppcm(a,c)=a.c/pgcd(a,c).
ppcm(b,c)=.b.c /pgcd(b,c)

oups ! pas bon je retire ce que j'ai dit sur mon dernier post... désolé

Ce que j'ai proposé  qui utilise la décomposition des entiers > 0 en produit de nombres premiers ramène l'exercice  à la preuve  de l'égalité  , pour tout (x , y , z) dans *³   entre

X := (Min(x,y,z))²/Min(x,y)Min(y,z)Min(z,x)  et

Y := (Max(x,y,z))²/Max(x,y)Max(y,z)Max(z,x)

Comme  X et Y sont invariants sous S₃ on peut supposer qu'on a  : x   y   z auquel cas X = x²/xyx = 1/y et Y = z²/yzz = 1/y

Bonsoir,

on sait que :
P_ab*G_ab=a*b
P_ac*G_ac=a*c
P_bc*G_bc=b*c
et on sait que :
a*b*c*G_abc=P_abc*G_ab*G_ab*G_bc

mettre au carré si besoin, remplacer, arranger,  et arriver à l'égalité demandée

Bonjour merci à tous, finalement j'utilise quoi ?

Barney je peux avoir un peu d'explications concernant votre méthode svp ?

Carpecarpediem, j'ai dit stop !


morgane55 , Utilise la méthode que tu veux
utilise ce que je te donne dans un premier temps et arrive à la conclusion demandée

ben non pas stop ...  tu nous sort des trucs de derrière les fagots et qui sont la clé de la démonstration !!!

dans le cas du pgcd et du ppcm de deux entiers c'est trivial ...

mais dès qu'on passe à trois ou plus ce n'est plus la même chose et c'est l'objet de ce pb !!!