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arithmétique
Posté par ziadim
Bonjour
Question
Montrer que x et y sont premier entre eux
x=3 ^n+2^n
y=3^(n+1) +2^(n+1)
Bonjour,
Qu'as-tu fait ?
Je te propose une tentative, en remarquant que :
(3n + 2n)(3 + 2) = 3n+1 + 2n+1 + 2.3n + 3.2n
Que je peux réécrire :
5(3n + 2^n) - (3n+1 + 2n+1) = 6(3n-1 + 2^n-1))
Et donc, tout diviseur commun à (3n + 2^n) et à (3n+1 + 2n+1) divise 6(3n-1 + 2^n-1))
A toi de continuer...
salut
une proposittion , en utilisant la régle pgcd(a,b)= pgcd(a-b,b)
ca va tres vite :
pgcd(3n+1+2n+1,3n+2n)=
pgcd(2.3n+2n,3n+2n)=
pgcd(3n,3n+2n)= ...à toi
la suite est vraiment tres simple ensuite ne pas oublier que pgcd(an,bn) = (pgcd(a,b))n
il est inutile d'utiliser les propriétés des pgcd ... qui découlent uniquement des propriétés des diviseurs ...
et dans pgcd il y a un d ...
salut Carpediem , 'il est inutile " ....on est pas dans ta tete pour pouvoir penser exactement de la meme facon ...et justement en math tout est utile ,.ce genre de remarque dans l'enseignement est une catastrophe qui met des generations d'eleves dans la perte de confiance en soi , car à chaque fois que l'eleve va poser son raisonnement il va se dire " je dois ? je dois pas ? ....je sais pas quoi faire pourtant !!je suis sur d'avoir une bonne idée .... peut etre que le prof voudra pas ....puis ensuite né une crainte de la discpline et de ceux qui l'enseigne ..puis à terme un degout pour la discipline et une fuite , il faut laisser les eleves echaffauder leur raisonnement comme il l'entendent si l'idée est bonne et ne pas les "brider" ....tout les chemins menent à rome
carpediem @ 20-07-2022 à 13:04
les propriétés des pgcd découlent uniquement des propriétés des diviseurs ...
il est donc plus fondamental de savoir et savoir manipuler ces propriétés que de camoufler le raisonnement et ces propriétés avec des notations inutiles ... les propriétés des pgcd découlent uniquement des propriétés des diviseurs ...
je vois beaucoup trop d'élèves manipuler des formules sans rien y comprendre ...
et je t'invite à aller enseigner pour comprendre combien tes propos qui suivent sont en dehors de toute réalité ... en particulier au collège ...
en particulier je t'invite à découvrir le travail de Stella BARUK ...
enfin et surtout elle ne vient pas de ziadim mais de toi !!!
la propriété élémentaire et fondamental de l'arithmétique dit que : si d divise deux entiers alors il divise toute leur combinaison linéaire ...
si d divise
et c'est fini !!!
Bonsoir,
Citation :
et justement en math tout est utile
et justement en math tout est utile
Oui fligth, j'adhère complètement.
carpediem
Citation :
la propriété élémentaire et fondamentale de l'arithmétique dit que : si d divise deux entiers alors il divise toute leur combinaison linéaire ...
la propriété élémentaire et fondamentale de l'arithmétique dit que : si d divise deux entiers alors il divise toute leur combinaison linéaire ...
J'ai aussi tendance à privilégier ce raisonnement, d'autant plus que ta solution est rapide et élégante.
Encore faut-il y penser.
Un prof qui y a passé pas mal d'années d'accord, mais un élève ? Comment, en peu de temps, fera -t-il le tri entre un résultat élémentaire, utilisable la plupart du temps, et une formule qui en est déduite et risque fort d'être vite oubliée ?
ziadim aura vu plusieurs propositions, espérons qu'il trouvera de quoi réfléchir.
co11 @ 22-07-2022 à 20:29
J'ai aussi tendance à privilégier ce raisonnement, d'autant plus que ta solution est rapide et élégante.
Encore faut-il y penser.
Un prof qui y a passé pas mal d'années d'accord, mais un élève ? Comment, en peu de temps, fera -t-il le tri entre un résultat élémentaire, utilisable la plupart du temps, et une formule qui en est déduite et risque fort d'être vite oubliée ?
c'est un peu contradictoire ... avant d'avoir toutes ces formules des propriétés du pgcd il n'y a essentiellement que la propriété que je rappelle et quelques propriétés de divisibilité comme si a divise b et b divise c alors a divise c qui est importante pour le g de pgcd ...
J'ai aussi tendance à privilégier ce raisonnement, d'autant plus que ta solution est rapide et élégante.
Encore faut-il y penser.
Un prof qui y a passé pas mal d'années d'accord, mais un élève ? Comment, en peu de temps, fera -t-il le tri entre un résultat élémentaire, utilisable la plupart du temps, et une formule qui en est déduite et risque fort d'être vite oubliée ?
mais un élève ne fait pas le tri : il oublie ce qui précède et un exemple concret est le discriminant qui efface toutes les règles de factorisation élémentaire et on voit des élèves utiliser le discriminant pour des équations du type a^2 - b^2 = 0 ou pire du type ax^2 + bx = 0 ...
quelle tristesse ...
et la meilleure façon de ne pas oublier c'est de revenir aux fondamentaux avant de sortir l'artillerie lourde !!!
flight ne propose qu'un nouvel emballage pour ne faire que ce que je dis avec des égalités "formulatoires" ... qui ne deviendront élémentaires uniquement quand les fondamentaux sont acquis !!
écrire que pgcd (a, b) = pgcd (a - b, b) c'est dire de façon (certes synthétique) que si d divise a et b alors il divise a - b (combinaison linéaire de a et b) et b
et ce qui est vrai pour tout diviseur est vrai pour le pgcd ...
et quand je disais que c'est un peu contradictoire c'est dans le fait que pour ne pas apprendre une formule vite oubliée il suffit de ne pas avoir à l'apprendre !!
parce qu'on possède justement ce qu'il suffit de savoir pour ne pas en savoir plus !!!
bien évidemment au fur et à mesure de l'apprentissage il est évidemment nécessaire de maîtriser et savoir plus de choses !!!
dans cet exercice l'essentiel (et c'est très riche de savoir tirer la substantifique moëlle d'un exercice) n'est pas les propriétés des pgcd mais la propriétés des diviseurs ...