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Arithmetique dans Z (5)
Posté par Amarouche1
Bonjour,
1)Montrer que pour tout (a,b,c) :
PGCD(a, c) ==> PGCD(ab, c) = PGCD(b, c)
2) Pour tout n, on pose :
c= 5b+8 et b=+n-3
a)Montrer que pour tout n :
PGCD(b, c) = PGCD((5n+8) ,(3n+15))=PGCD((n+22), 51)
b) Determiner les valeirs possibles de PGCD(b, c)
c) Detrminer selon les valeirs de n, la valeurs de plus grand commun diviseur de b et c .
pour2)c) Dans ce forum j'ai trouve l'aide pour savoir comment resoudre ce type des questions mais avec des nombres plus petit comme 10 (au lieu de 51 ici). Vu que notre cas ici nous oblige de reflechir sur une autre possibilite pour trouver la solution.
edit : mis en lien 
Arithmetique dans Z (ter)
(et puis les appeler tous du même titre 
on ne risque pas de s'y retrouver ...
salut
Amarouche1 @ 01-05-2021 à 10:28
1)Montrer que pour tout (a,b,c)
:
PGCD(a, c) ==> PGCD(ab, c) = PGCD(b, c)
ceci ne veut rien dire 1)Montrer que pour tout (a,b,c)
PGCD(a, c) ==> PGCD(ab, c) = PGCD(b, c)
ne veut toujours rien dire :
après => il y a une phrase (ou proposition) car il y a un verbe
avant => il n'y a pas de phrase (ou proposition) car il n'y a pas de verbe
...
carpediem @ 01-05-2021 à 12:08
ne veut toujours rien dire :
après => il y a une phrase (ou proposition) car il y a un verbe
avant => il n'y a pas de phrase (ou proposition) car il n'y a pas de verbe
...
Pardon, vous avez absoulument raison ... ne veut toujours rien dire :
après => il y a une phrase (ou proposition) car il y a un verbe
avant => il n'y a pas de phrase (ou proposition) car il n'y a pas de verbe
...
Voila :
Donc on doit utiliser 1) dans 2)c).
Traduire pgcd(a, c)=1 c'est-a-dire donner a et c leur valeur, je pense.
On a pgcd(b, c)=pgcd(n+22, 51) donc c=51 et a il faut la chercher ?
Amarouche1 @ 01-05-2021 à 12:54
Donc on doit utiliser 1) dans 2)c). on n'en est pas encore là ...
Traduire pgcd(a, c)=1 c'est-a-dire donner a et c leur valeur, je pense. non
On a pgcd(b, c)=pgcd(n+22, 51) donc c=51 et a il faut la chercher ? on n'en est pas encore là ...
Donc on doit utiliser 1) dans 2)c). on n'en est pas encore là ...
Traduire pgcd(a, c)=1 c'est-a-dire donner a et c leur valeur, je pense. non
On a pgcd(b, c)=pgcd(n+22, 51) donc c=51 et a il faut la chercher ? on n'en est pas encore là ...
D'accord.
1) on pose d=pgcd(ab, c) .
Ona : d/ab et d/c. Or pgcd(d, a)=pgcd( pgcd(ab,c), a)= pgcd(a,c)=1
donc d/b et d/c donc d/pgcd(b,c).
On pose d'=pgcd(b,c).
On a d'/b et d'/c donc d'/ab et d'/c donc d/pgcd(ab,c)
donc d=d'
2)a) on va appliquer le meme principe (combinaison lineaire)
b) les valeurs possibles sont: 1, 3, 17 et 51
.....
Amarouche1 @ 01-05-2021 à 14:06
Ona : d/ab et d/c. Or pgcd(d, a)=pgcd( pgcd(ab,c), a)= pgcd(a,c)=1
donc d/b et d/c donc d/pgcd(b,c).
Ona : d/ab et d/c. Or pgcd(d, a)=pgcd( pgcd(ab,c), a)= pgcd(a,c)=1
donc d/b et d/c donc d/pgcd(b,c).
ce qui est en rouge ne veut rien dire : il serait temps de faire des efforts et écrire divise en toute lettre pour donner du sens ...
peux-tu prouver ce qui est en bleu : je n'y vois qu'une suite kabbalistique d'égalités (peut-être vraies) mais j'en aimerai la preuve ...
plus simplement :
pgcd (a, c) = 1 => il existe des entiers u et v tels que au + cv = 1
donc abu + c(bv) = b
il suffit d'appliquer la propriété fondamentale de l'arithmétique (rappelée dans un autre post) ...
pgcd (a, c) = 1 => il existe des entiers u et v tels que au + cv = 1
donc ab(u) + c(bv) = b il existe des entiers u' et v' tels que :
abu'+cv'=b pgcd(ab,c)=b
et b(au)+c(bv)=b il existe des entiers u'' et v'' tels que :
bu''+cv''=b pgcd(b,c)=b
donc pgcd(ab,c)=pgcd(b,c)
pgcd (a, c) = 1 => il existe des entiers u et v tels que au + cv = 1
donc ab(u) + c(bv) = b il existe des entiers u' et v' tels que :
abu'+cv'=b pgcd(ab,c)=b
et b(au)+c(bv)=b il existe des entiers u'' et v'' tels que :
bu''+cv''=b pgcd(b,c)=b
donc pgcd(ab,c)=pgcd(b,c)
Amarouche1 @ 01-05-2021 à 10:28
Bonjour,
1)Montrer que pour tout (a,b,c) :
PGCD(a, c) ==> PGCD(ab, c) = PGCD(b, c)
2) Pour tout n
, on pose :
c= 5b+8 et b=
+n-3
a)Montrer que pour tout n :
PGCD(b, c) = PGCD((5n+8) ,(3n+15))=PGCD((n+22), 51)
b) Determiner les valeirs possibles de PGCD(b, c)
c) Detrminer selon les valeirs de n, la valeurs de plus grand commun diviseur de b et c .
pour2)c) Dans ce forum j'ai trouve l'aide pour savoir comment resoudre ce type des questions mais avec des nombres plus petit comme 10 (au lieu de 51 ici). Vu que notre cas ici nous oblige de reflechir sur une autre possibilite pour trouver la solution.
edit : mis en lien Arithmetique dans Z (ter)
(et puis les appeler tous du même titre on ne risque pas de s'y retrouver ...
Bonjour,
1)Montrer que pour tout (a,b,c)
PGCD(a, c) ==> PGCD(ab, c) = PGCD(b, c)
2) Pour tout n
c= 5b+8 et b=
a)Montrer que pour tout n
PGCD(b, c) = PGCD((5n+8) ,(3n+15))=PGCD((n+22), 51)
b) Determiner les valeirs possibles de PGCD(b, c)
c) Detrminer selon les valeirs de n, la valeurs de plus grand commun diviseur de b et c .
pour2)c) Dans ce forum j'ai trouve l'aide pour savoir comment resoudre ce type des questions mais avec des nombres plus petit comme 10 (au lieu de 51 ici). Vu que notre cas ici nous oblige de reflechir sur une autre possibilite pour trouver la solution.
edit : mis en lien
Arithmetique dans Z (ter)
(et puis les appeler tous du même titre
on ne risque pas de s'y retrouver ...
J'espere que vous pouvez m'aider dans la derniere question
Tu écris
Citation :
il existe des entiers u' et v' tels que :
abu'+cv'=b
pgcd(ab,c)=b
il existe des entiers u'' et v'' tels que :
bu''+cv''=b pgcd(b,c)=b
As-ton 3il existe des entiers u' et v' tels que :
abu'+cv'=b
pgcd(ab,c)=b
il existe des entiers u'' et v'' tels que :
bu''+cv''=b
pgcd(b,c)=b 
2021 - 22021 = 2021 pgcd(3,2) = 2021 ?Bien sur non c'est ma faute car on a : d=pgcd(a,b) => il existe des entiere naturels u et v tel que d=ua+bv mais pas l'inverse, j'ai cru au debut qu'on a l'equivalence donc tous ce que j'ai fait est fausse.
Normalement si d=1 alors il s'agit d'une equivalence.
Je prefere donc de revenir a ma methode simple...
Amarouche1 @ 01-05-2021 à 14:06
D'accord.
1) on pose d=pgcd(ab, c) .
Ona : d/ab et d/c. Or pgcd(d, a)=pgcd( pgcd(ab,c), a)= pgcd(a,c)=1
donc d/b et d/c donc d/pgcd(b,c).
On pose d'=pgcd(b,c).
On a d'/b et d'/c donc d'/ab et d'/c donc d/pgcd(ab,c)
donc d=d'
2)a) on va appliquer le meme principe (combinaison lineaire)
b) les valeurs possibles sont: 1, 3, 17 et 51
.....
D'accord.
1) on pose d=pgcd(ab, c) .
Ona : d/ab et d/c. Or pgcd(d, a)=pgcd( pgcd(ab,c), a)= pgcd(a,c)=1
donc d/b et d/c donc d/pgcd(b,c).
On pose d'=pgcd(b,c).
On a d'/b et d'/c donc d'/ab et d'/c donc d/pgcd(ab,c)
donc d=d'
2)a) on va appliquer le meme principe (combinaison lineaire)
b) les valeurs possibles sont: 1, 3, 17 et 51
.....
Amarouche1 @ 01-05-2021 à 19:57
pgcd(pgcd(ab, c), a)=pgcd(pgcd(ab, a), c)=pgcd(a(pgcd(b, 1), c)=pgcd(a,c)=1
moi j'aimerai avoir une démonstration propre et claire de chaque égalité !! (du moins de la première ...)
pgcd(pgcd(ab, c), a)=pgcd(pgcd(ab, a), c)=pgcd(a(pgcd(b, 1), c)=pgcd(a,c)=1
carpediem @ 01-05-2021 à 14:31
plus simplement :
pgcd (a, c) = 1 => il existe des entiers u et v tels que au + cv = 1
donc abu + c(bv) = b
il suffit d'appliquer la propriété fondamentale de l'arithmétique (rappelée dans un autre post) ...
donc si d divise ab et c alors d divise b
plus simplement :
pgcd (a, c) = 1 => il existe des entiers u et v tels que au + cv = 1
donc abu + c(bv) = b
il suffit d'appliquer la propriété fondamentale de l'arithmétique (rappelée dans un autre post) ...
donc si d divise ab et c alors d divise b et c
ce qui est vrai pour tout diviseur de ab et c est certainement vrai pour leur plus grand diviseur
au fait quel est le lien entre les questions 1/ et 2/
si b = ... et c = 5b + 8 alors 8 = c - 5b est combinaison linéaire de b et c donc tout diviseur de b et c divise 8 et même pgcd (b, c) = pgcd (b, 8) ...
pgcd(pgcd(ab, c), a)=pgcd(pgcd(ab, a), c) (car il y a associativite dans le pgcd)
pgcd(a(pgcd(b, 1), c)=pgcd(a,c) (car pgcd(b,1)=b)
or on a : pgcd(a,c)=1 donc pgcd(pgcd(ab, c), a)=1
carpediem @ 02-05-2021 à 09:47
au fait quel est le lien entre les questions 1/ et 2/
si b = ... et c = 5b + 8 alors 8 = c - 5b est combinaison linéaire de b et c donc tout diviseur de b et c divise 8 et même pgcd (b, c) = pgcd (b, 8) ...
Je n'ai pas compris pour quoi : c = 5b + 8au fait quel est le lien entre les questions 1/ et 2/
si b = ... et c = 5b + 8 alors 8 = c - 5b est combinaison linéaire de b et c donc tout diviseur de b et c divise 8 et même pgcd (b, c) = pgcd (b, 8) ...
Voila l'enonce :
1)Montrer que pour tout (a,b,c) de Z^3 :
PGCD(a, c)=1 ==> PGCD(ab, c) = PGCD(b, c)
2) Pour tout n de N, on pose :
c= 5n+8 et b=n^2+n-3
a)Montrer que pour tout n de N :
PGCD(b, c) = PGCD((5n+8) ,(3n+15))=PGCD((n+22), 51)
b) Determiner les valeirs possibles de PGCD(b, c)
c) Detrminer selon les valeirs de n, la valeurs de plus grand commun diviseur de b et c .
ok
donc au final le pgcd de b et c est 1, 3, 17 ou 51
51 ou 10 c'est la même chose : si on sait faire pour 10 on sait faire pour 51 ... c'est simplement plus long ...
et donc tu peux très bien automatiser la recherche avec un tableur à partir de la relation pgcd (b, c) = pgcd (n + 22, 51) qui te donne immédiatement la réponse ...
quelques cas particuliers :
si n = 2 + 3k alors d = pgcd (n + 22, 51) = 3pgcd (k + 8, 17)
si maintenant k = 9 + 17p alors d = 51
de toute façon tu ne coupes pas à ce que Sylvieg ou moi-même te proposions dans le fil donné en lien ...
je viens de te proposer un cas particulier mais qu'on peut généraliser comme l'avait fait Sylvieg en considérant n = 3k + r avec r dans {0, 1, 2} pour faire un premier tri
on peut aussi poser n = 17k + r avec r dans {0, 1, ..., 16} pour faire un tri plus conséquent ...
mais tu n'y coupes pas
donc autant utiliser un tableur et travailler directement modulo 51 ...
carpediem @ 02-05-2021 à 20:38
c'est à dire ?
c'est à dire ?
C'est-a-dire : j'ai trouve l'aide.
Merci carpediem pour votre patience