salut

c'est malheureux cette utilisation du de symbole  (comme ^) alors que pgcd est tellement plus parlant ...

d'autant plus quand on voit la réponse 3/ qui est incompréhensible ...

vu que b = na - 3n - 4 ...

si 2 divise a et b alors 2 divise a donc n est pair ...

on vaa donc commencer par traiter deux sous-cas :

n = 2p
n = 2p + 1

puis on remplace dans les expressions de a et b ...

Bonsoir Amarouche1,
Ce serait sympa de réagir à nos réponses dans tes autres sujets.
Par exemple ici : Arithmetique dans Z bis

Ci-dessous, une piste pour utiliser la question 1) dans 3).

D'après 1), il s'agit de déterminer PGCD(3n+4,10) selon les valeurs de l'entier naturel n .
Soit N = 3n+4 .
Si R est le reste de la division euclidienne de N par 10 , alors PGCD(N,10) = R .
Avec r le reste de la division euclidienne de n par 10 , on a :
n = 10q+r et N = 30q +3r+4 .
Calculs à faire pour r de 0 à 9.
Ajouter 3 pour passer d'un calcul à l'autre, ce n'est pas monstrueux.

Remarques :
Le reste R n'est pas toujours égal à 3r+4 .
Mais en fait, N = 30q +3r+4 donne PGCD(N,10) = 3r+4 .

On pourrait aussi faire avec une table de congruence modulo 10, mais j'ai cru comprendre que certains n'aimaient pas

la question 1/ te dit que les diviseurs communs éventuels de a et b sont les diviseurs de 10 ...

maintenant il faut faire le tri

si n est pair alors 2 divise a et b  et il faudra encore faire le tri pour savoir si 5 peut être aussi diviseur commun (et alors on aura 10) ou pas

si n 'est impair alors a est impair donc 2 ne sera pas diviseur commun (et donc pas 10) : reste à nouveau à faire le tri pour savoir quand c'est 1 (ils sont premiers entre eux) ou 5

...

c'est un bon exercice de le faire tel que je le propose ...

maintenant puisque tu le fais en utilisant toujours les pgcd on peut voir qu'au final on travail modulo 10 ... au minimum voire peut-être même modulo 30 à cause du 3 dans 3n + 4

je voulais te proposer une résolution plus axée sur la divisibilité mais donc en continuant dans ton sens et en regardant pgcd(3n + 4, 10) on peut donc être un peu plus efficace et moins laborieux en suivant les deux idées de Sylvieg :

pour la deuxième idée effectivement on peut obtenir assez aisément les résultats à l'aide d'un tableau de congruence de N = 3n + 4 lorsque n = 10q + r avec 0 <= r < 10 (mais même là est-ce vraiment un tableau de congruence ? puisqu'on ne travaille plus qu'avec les dix entiers qui sont les chiffres)

pour sa première idée on peut faire comme elle ou alors peut-être écrire directement N = 3n + 4 = 10q + r avec toujours 0 <= r < 10

sachant alors que pgcd (N, 10) = pgcd (10, r) et c'est fini

et la résolution de l'équation 3n + 4 = 10q + r <=> 3n - 10q = r - 4  (*)

et 3 et 10 étant premiers entre eux il est aisé de trouver des entiers u et v tels que 3u - 10v = 1 et d'en déduire les solutions de (*)

et cette fois ci un tableau (qui n'est pas de congruence mais lui est quasiment équivalent, la différence étant que les reste sont en nombre fini) mais qui dépend du reste r donne aussi les résultats.

---------------------------------------------------------------------------------------------------
3(-3) - 10(-1) = 1 donc 3(-3)(r - 4) + 10(-1)(r - 4) = r - 4)

donc 3[n + 3(r - 4)] + 10[q + r - 4] = 0 ...

bon "ça se fait"  ... mais ouais finalement faite tout comme Sylvieg est plus mieux simple pour sa première idée !!

Je crois que ça s'appelle le lemme d'Euclide.
De manière plus générale, pgcd(x, y) = pgcd(x, y-kx).
Ce n'est pas ce que tu as utilisé pour 1) ?

Non, pour 51, utiliser cette méthode n'est à envisager qu'avoir épuisé toute autre possibilité

Messages croisés

Oui c'est s'appelle l'algorithme d'euclide, en effet pour 1) j'ai utiliser ( x/y et y/x <=> x=y)
Merci enormement pour vous tous les deux !

de rien

De rien, et à une autre fois sur l'île