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Niveau terminale
Arithmétique - Déterminer entiers relatifs n tels que • divise •
Posté par Axel33
Bonjour,
Merci d'avance pour toute aide.
J'aurais besoin d'aide pour l'exercice suivant :
Exercice
Le but de l'exercice est de déterminer l'ensemble des entiers relatifs n tels que (5n+7)/(n+2) soit un entier.
1. Conjecture
Avec sa calculatrice, un élève a saisi f(x)=(5x+7)/(x+2)
et il obtient l'écran capturé ci-contre. (voir sur l'image ou faire un tableau de cette fonction sur l'intervalle [-3;3] avec un pas de 1)
Quelle conjecture peut-il faire ?
2. Preuve
a. On considère un entier relatif n. Démontrer que si n+2 divise 5n+7, alors n+2 divise.
b. Déterminer l'ensemble des entiers relatifs n tels que n+2 divise 5n+7.
c. Conclure sur le problème posé. La conjecture de l'élève est-elle validée ?
--------------------------------------------------------
Ma réponse :
1. Il peut conjecturer, que sur l'intervalle [-3;3] les entiers relatifs {-3}, {1} et {3} sont les entiers relatifs tel que (5n+7)/(n+2) soit un entier. (que n+2 divise 5n+7)
Cela semble simple, mais je ne sais pas par où commencer et comment me justifier, et ce malgré le visionnage du même exercice (avec d'autres nombres sur YouTube).
Quelqu'un peut-il m'indiquer une démarche à suivre ?
Un grand merci pour toute aide,
Axel
salut
Axel33 @ 07-10-2021 à 13:25
1. Il peut conjecturer, que sur l'intervalle [-3;3] les entiers relatifs {-3}, {1} et {3} sont les des entiers relatifs tel que (5n+7)/(n+2) soit un entier. (que n+2 divise 5n+7)
1. Il peut conjecturer, que sur l'intervalle [-3;3] les entiers relatifs {-3}, {1} et {3} sont les des entiers relatifs tel que (5n+7)/(n+2) soit un entier. (que n+2 divise 5n+7)
inutile de mettre des accolades autour des nombres ...
il existe donc des entiers tels que cette fraction soit entière ... (on en trouve trois mais peut-être y en a-t-il d'autres ...)
2/ il faut utiliser le théorème : si d divise a et b alors d divise toute combinaison linéaire de a et b ...
Bonjour
C'est noté pour la question 1. Je n'ai par contre toujours pas compris le théorème.
À quoi correspond a, b et d ?
a : (n+2)
b : (n+2)
d : (5n+7)
?
Bonne journée,
Axel
Bonjour,
Juste une question en l'absence de carpediem :
Tu n'as pas compris le théorème, ou tu n'as pas compris comment l'utiliser ?
Il faut employer les bons mots.
Conjecturer, ou constater, ce n'est pas la même chose.
L'élève peut constater que sur l'intervalle [-3,3] , les seules solutions sont ... ...
Et quand on passe à Conjecturer , ça veut dire qu'on veut généraliser le résultat à Z tout entier. Si on constate une certaine régularité, on peut supposer que la régularité continue, pour toutes les autres valeurs de Z.
Par exemple : je conjecture que pour tous les nombres impairs, f(x) est un entier.
Au besoin, il faut chercher la définition de Conjecturer dans un dictionnaire.
Et maintenant, pour la partie 'calculs', je ne suis pas d'accord avec les résultats. Dans l'image, on voit bien que f(-3) n'est pas un entier.
Sans doute une coquille : un "moins" en trop ?
Et peut-être aussi une coquille de la part de Axel33 dans son
Citation :
Il peut conjecturer, que sur l'intervalle [-3;3] les entiers relatifs {-3}, {1} et {3} sont les entiers relatifs tel que (5n+7)/(n+2) soit un entier.
qui est faux.Il peut conjecturer, que sur l'intervalle [-3;3] les entiers relatifs {-3}, {1} et {3} sont les entiers relatifs tel que (5n+7)/(n+2) soit un entier.
Sylvieg @ 08-10-2021 à 08:24
Bonjour,
Juste une question en l'absence de carpediem :
Tu n'as pas compris le théorème, ou tu n'as pas compris comment l'utiliser ?
Bonjour,
Juste une question en l'absence de carpediem :
Tu n'as pas compris le théorème, ou tu n'as pas compris comment l'utiliser ?
Bonjour,
Merci pour votre aide. Je ne comprends ni le théorème ni comment l'utiliser.
La seule chose qui est semblable dans ma leçon est :
Si c divise a et b, alors c divise tout entier de la forme ua+vb où u et v sont des entiers relatifs.
L'entier ua +vb est appelé une combinaison linéaire de a et b.
Voilà ce que je ne comprends pas, j'aimerais qu'on m'explique cela avec un exemple simple pour comprendre pour que je puisse l'appliquer dans l'exercice.
Merci pour votre aide @Sylvieg,
Axel
ty59847 @ 08-10-2021 à 09:25
Il faut employer les bons mots.
Conjecturer, ou constater, ce n'est pas la même chose.
L'élève peut constater que sur l'intervalle [-3,3] , les seules solutions sont ... ...
Et quand on passe à Conjecturer , ça veut dire qu'on veut généraliser le résultat à Z tout entier. Si on constate une certaine régularité, on peut supposer que la régularité continue, pour toutes les autres valeurs de Z.
Par exemple : je conjecture que pour tous les nombres impairs, f(x) est un entier.
Au besoin, il faut chercher la définition de Conjecturer dans un dictionnaire.
Et maintenant, pour la partie 'calculs', je ne suis pas d'accord avec les résultats. Dans l'image, on voit bien que f(-3) n'est pas un entier.
Il faut employer les bons mots.
Conjecturer, ou constater, ce n'est pas la même chose.
L'élève peut constater que sur l'intervalle [-3,3] , les seules solutions sont ... ...
Et quand on passe à Conjecturer , ça veut dire qu'on veut généraliser le résultat à Z tout entier. Si on constate une certaine régularité, on peut supposer que la régularité continue, pour toutes les autres valeurs de Z.
Par exemple : je conjecture que pour tous les nombres impairs, f(x) est un entier.
Au besoin, il faut chercher la définition de Conjecturer dans un dictionnaire.
Et maintenant, pour la partie 'calculs', je ne suis pas d'accord avec les résultats. Dans l'image, on voit bien que f(-3) n'est pas un entier.
Bonjour,
J'ai recopié ce qu'il y avait marqué dans mon exercice. Le voici ci-joint. Et oui vous avez totalement raison (oui je suis un boulet :/), ce n'était pas f(3) mais f(-3), f(-1) et f(1)
Sylvieg @ 08-10-2021 à 09:37
Sans doute une coquille : un "moins" en trop ?
Et peut-être aussi une coquille de la part de Axel33 dans son
Sans doute une coquille : un "moins" en trop ?
Et peut-être aussi une coquille de la part de Axel33 dans son
Citation :
Il peut conjecturer, que sur l'intervalle [-3;3] les entiers relatifs {-3}, {1} et {3} sont les entiers relatifs tel que (5n+7)/(n+2) soit un entier.
qui est faux.Il peut conjecturer, que sur l'intervalle [-3;3] les entiers relatifs {-3}, {1} et {3} sont les entiers relatifs tel que (5n+7)/(n+2) soit un entier.
Exact une erreur de ma part elle a été corrigé dans le message au-dessus.
Tu n'es pas un boulet 
Le théorème et sa démonstration :
Si un entier c divise un entier a alors il existe k entier tel que a = kc.
Si un entier c divise un entier b alors il existe k' entier tel que b = k'c.
Avec u et v entiers, on a ua+vb = (uk+vk')c où uk+vk' est un entier.
Donc c divise ua+vb.
Voici un exemple d'utilisation que j'espère assez simple :
Si un entier c divise 7n+30 et n+2 alors c divise (7n+30) - 7(n+2).
On s'arrange pour que les n disparaissent.
Ici, u = 1 et v = 7.