Bonjour

Tu plaisantes, je suppose.

Cordialement
Frenicle

j'avais lu quelque chose de similaire dans le cours d'animaths ( ), et apparemment cela à un rapport avec le théorème de Dirichlet ...

et salutations frenicle

Salut

Sur le théorème de Dirichlet. Tout ce que je sais c'est qu'il est très fortement non trivial à prouver. J'ai trouvé ça: si ça peut t'intéresser... Il y en avait un meilleur que je connaissais. Impossible de remettre la main dessus. Je le poste si je le trouve.

Salut tout le monde

Salut frenicle

En quoi était-ce comique?

Salut aux autres

Merci pour les liens ! Je ne pensais pas que c'était si difficile, je comprends ta remarque frenicle.

Ceci dit, on peut quand même s'en sortir quand même dans des cas particuliers à moindre coût. Ca donne des exos faisables mais pas complètement triviaux non plus. Le cas "démontrable" le plus large que je connaisse c'est quand b=1... Bof, pas terrible quoi mais ya de quoi s'occuper un 'ti moment quand même.

C'est d'ailleurs faux pour a=2 et b=1 (qui sont pourtant copremiers)

Comment ça? Il n'existe pas une infinité de nombre premier de la forme 2n+1 ?

tiens c'est marrant, pour moi en prenant a=2 et b=1 on obtenait juste "2n" ... Enfin c'est bien connu que 1=0

Bonjour,
C'est pas trivial a prouver...
Disons que ca reste faisable...enfin en connaissant les arguments clés de la démo...
En fait c'est a base d'analyse complexe et d'etude des serie de Dirichlet. Tu trouvera de jolis demo dans Serre, cours d'arithmétique (un trésor ce livre) ainsi qu'une démo sur le site de P.Colmez (je me permet de le citer) dans la rubrique enseignement, cours à l'X (2008 ou 2007) le poly es d'ailleurs lui aussi génial et tres tres riches en informations... On peut en raffinant un peu ce résultat (en utilisant des techniques similaires) prouver le théorème des nombres premiers...
Néanmoins on peut le prover comme le diasit ayoub, dans des cas moins genraux...

Comme par exemple prouver qu'il y en aune inifinté congru à 1 mod n. Tu suppose qu'il y en a un nombre fini et tu note P leur produit puis f_n(xnP) ou f_n est le n-ième polycome cyclotomique...Tu devrais t'en sortir...

On peut se poser la question plus generale suivante, est ce que les nombres premiers sont équirepartis dans les progressions arithmetiques dans lesquelles ils peuvent exister...
C'est à dire si l'on se donne a dans N, alors pour tout b premier avec a l'equation x=b[a], ademt une inifité de nombre premiers solutions pour tout b premier avec a...Est ce que le "nombre de solutions" dépénd de b? C'est le theorème de densité de Cebotarev qui repond a la question...La aussi tu trouvera la démo dans la litterature, les demo sont basés sur de l'analyse complexe et un peu de thoerie de Galois (du moins celles que je connais). Neukirch, algebraic number thoery est une bonne reference...mais Lang (dans son propre algebraic number theory ) doit le faire aussi...

Un lien vaut mieux qu'un long discours...

Quelques remarques complémentaires :

a) les preuves "faciles" à l'aide de congurences et d'un polynôme, par exemple les polynômes cyclotomiques qui donne les  an+1  s'étendent au cas où
b²=1  modulo a .....et seulement à ces cas là (théorème de Ram Murty) . Ce résultat à fait l'objet d'un mémoire de DEA qui se trouve quelque part sur le net (mais où?)

b) il y a aussi une démonstration du thérème de Dirichlet sans analyse complexe...mais beaucoup plus longue et quand même avec de l'analyse (preuve de Daboussy)

Bonsoir Jord

Je croyais vraiment que tu plaisantais, car le théorème de la progression arithmétique est l'un des résultats les plus célèbres de la théorie des nombres et Dirichlet a réalisé un véritable tour de force en le démontrant.
A partir de maintenant, ta mission, si tu l'acceptes, est d'en comprendre la démonstration

Salut !


lolo >>> il y a jammais eu bessoin d'analyse complexe pour Dirichlet, c'est un théorème un peu plus élémentaire que le théorème des nombres premier (c'est celui ci dont d'abord Erdos et Selberg puis Daboussy ont prouvé de facon "elementaire") (j'ai pas vérifier, mais il me semble qu'elementaire veut dire qu'ils ont prouvé que le TNP ,est une conséquence des axiomes de Peano...)



il y a un sujet d'Ulm de 6h qui sert à prouvé ce résultat... (et qui est d'ailleur etonement facile par rapport à d'autres sujet de 6h...)

mais j'arrive plus du tous à mettre la main dessus :S (je vais chercher...)

enfin globalement il faut etudier les "caractère de dirichlet" (fonction n-periodique et multiplicative) et observer que somme des x(n)/n^s = produit des (1-x(p)/p^s)^(-1), que somme des x(n)/n converge vers une valeur Lx, que Lx est non nul (c'est le point difficle de la preuve). et du coup en passant au log dans le produit et en utilisant tous les caractère de dirichlet (il y a en juste assez pour avoir assez d'equations...) pour montrer qu'en gros toute les somme des la somme "somme des 1/p pour p congru a a modulo n " diverge "à une vitesse qui ne dépend pas de a"

Ksilver :  oui tu as raison c'est de l'analyse pas complexe
(pas facile donc complexe lol)
Ce théorème date de 1848  alors que celui des nombres premiers est de 1896 .

D'habitude "élémentaire "en théorie analytique des nombres signifie "sans analyse complexe" pour Erdös auquel Selberg a piqué la médaille fields in extremis avec la conclusion de la preuve il me semble qu'l y a plein d'analyse qaund même . Pour celle de Daboussy es-tu sûr ? (si oui je demanderais à un expert) .

Plus précisment après vérification pour Dirichlet c'est bien de l'analyse réelle de fonction à valeurs complexes .

Daboussi donne d'abord en 1984 une nouvelle preuve du théorème
des nombres premiers uniquement avec de l'analyse réelle (et donc sans
analyse complexe) et dans un deuxième temps en 1989 montre qu'il peut
généraliser son argumentation pour avoir Dirichlet.

Ksilver >> Tu parles de celui de 1993 je crois... Vérifie ici pour voir: .

En effet, c'est bien celui ci !


donc nightmare, jette un Oeil sur le site mis en lien par schumi au partie 1 à 5 du sujet de math inter ENS 1993. il n'est pas tres difficile (enfin... par rapport aux autres sujet d'ENS...)