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Arithmetique: Reste division euclidienne

Posté par
Molotov79
15-04-19 à 20:11

Bonjour je demande de l'aide pour mon exercice que voici en fait j'essaie de prendre avance sur ma classe , merci de ne pas me dire que ce que je demande est terre a terre
Exercice:
Determiner le reste de la division euclidienne de 3^n et 4^n
par 13 .(Merci de me donner une methode generale quand on a des n en puissance )

Posté par
carpediem
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 15-04-19 à 20:19

salut

commence par la division de 3^0, 3^1, 3^2, ... jusqu'à ce que tu vois quelque chose ... que tu devras évidemment prouver ...

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 15-04-19 à 20:45

Bonjour,
j'ai ceci :
\large 3^0=1\equiv0[13]
\large 3^1=3\equiv0[13]
3^2=9\equiv0[13]
3^3=27\equiv1[13]

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 15-04-19 à 20:58

Posté par
pgeod
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 15-04-19 à 21:09

Les trois premières lignes sont évidemment fausses.

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 15-04-19 à 21:17

?? que faire

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 15-04-19 à 21:57

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 15-04-19 à 22:10

Bon bon j'ai ceci
n=0 ,1 congru 1[13]
n=1, 3 congru 3[13]
n=2, 9 congru 9[13]
n=3, 27 congru 1[13]
... je remarque une alternance 1,3,9 a chaque trois n consecutifs

Posté par
carpediem
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 15-04-19 à 23:29

alors généralise et prouve ...

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 16-04-19 à 00:09

generalise ? je sous entend que Pn 3^{n+3}\equiv 3^n[13]
Initialisation:n=0 triviale
heredite: Supposons Pn vraie et demontrons que Pn+1 l'est
13| 3^{n+3}-3^n \Rightarrow 3^{n+3}-3^n=13k
Pn+1=(3^{n+3}-3^n).3=3.13k posons 3k=k', donc Pn+1=13k' donc en conclusion Pn est bien vrai
donc l'ensemble des restes est :
n=1, reste=1
n=2, reste=3
n=3, reste=9

j'ai encore fait du grand n'importe quoi et connaissant ton caractere tu te facheras encore

Posté par
Yzz
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 16-04-19 à 05:53

Salut,

Mauvais départ...
Tout entier naturel n s'écrit n = 3k ou n = 3k+1 ou n = 3k+2 avec k entier.

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 16-04-19 à 08:24

Salit,
Aide moi car j'ai vraiment plus aucune idee moi

Posté par
carpediem
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 16-04-19 à 10:09

3^3 \equiv 27 \equiv 1  [13] donc 3^{n + 3} \equiv 3^n . 3^3 \equiv 3^n  [13]

application :

si n = 3k alors ...
si n = 3k + 1 alors ...
si n = 3k + 2 alors ...

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 16-04-19 à 19:32

Pardon ?

Posté par
carpediem
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 16-04-19 à 19:36

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 16-04-19 à 19:42

ah j'ai vu pourquoi on prend si n=3k , =3k+1 et =3k+n seulement ??

Posté par
carpediem
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 16-04-19 à 19:45

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 16-04-19 à 20:42

Pardon mais j'ai pas compris

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 16-04-19 à 20:58

Bonsoir,
Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne par 3 ?

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 16-04-19 à 21:06

Bonsoir,
1 , 3 et 9 sont les restes possibles

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 16-04-19 à 21:07

pour 3^n

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 16-04-19 à 21:07

Ah non pour 3 c'est simplement 0,1 et 2

Posté par
carpediem
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 16-04-19 à 21:14

carpediem @ 16-04-2019 à 10:09

3^3 \equiv 27 \equiv 1  [13] donc 3^{n + 3} \equiv 3^n . 3^3 \equiv 3^n  [13] \red \iff 3^{3k + r + 3} \equiv 3^{3k + r}  [13]

application :

si n = 3k alors ...
si n = 3k + 1 alors ...
si n = 3k + 2 alors ...


3 * 0 + 0
3 * 0 + 1
3 * 0 + 2
3 * 1 + 0
3 * 1 + 1
3 * 1 + 2
....

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 16-04-19 à 21:19

Carpediem que souhaitons nous faire ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 16-04-19 à 22:10

Citation :
Ah non pour 3 c'est simplement 0,1 et 2
Oui : n = 3k ou n = 3k+1 ou n = 3k+2 .

33k = (33)k et 33 1 [13] ;
donc 33k 1k [13] .

A toi de finir, puis en déduire 33k+1 et 33k+2 .

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 16-04-19 à 22:33

pour 3k+1 on a 3 et pour 3k+2 on a 9
comment conclure ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 17-04-19 à 09:40

Pour 33k , le reste est ...
Pour 33k+1 , le reste est ...
Pour 33k+2 , le reste est ...

Saurais-tu déterminer le reste de 34567 dans la division euclidienne par 13 ?

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 17-04-19 à 19:31

Bonjour,
oui je sais le faire

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 17-04-19 à 20:51

Dis-nous comment.

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 17-04-19 à 21:24

3^3\equiv1[13]\Rightarrow 3^{4567}\equiv(3^3)^{1522}.3[13\Rightarrow ] 3^{4567}\equiv3[13] le RESTE EST 3

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 17-04-19 à 22:50

Oui, tu peux aussi considérer le reste dans la division euclidienne de 4567 par 3 .

Pour conclure : Trois cas selon le reste dans la division euclidienne de n par 3 .

Passe ensuite à 4n .

Méthode : Espérer trouver a avec 4a 1 [13]

Posté par
carpediem
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 17-04-19 à 23:01

ou -1 ...

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 17-04-19 à 23:03

Sylvieg Que dois-je rediger sur ma feuille , bon si je comprend bien la methode est la suivante :
Chercher la periode pour la division euclidinne de  k^n par d puis montrer que kn+periode\equiv k^n[d]
ensuite ?

par rapport a 4^a\equiv 1[13]
je vois que PGCD(4;13)=1 alors ces nombres sont premiers entre eux alors d'apres le petit theoreme de Fermat a=12

Posté par
carpediem
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 17-04-19 à 23:05

4 * 4 = 16 = 3

donc 4 * 4 * 4 = -1

...

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 17-04-19 à 23:09

carpediemSVP, Pouvons nous repondre a ma question d'abord

Molotov79 @ 17-04-2019 à 23:03

Sylvieg Que dois-je rediger sur ma feuille , bon si je comprend bien la methode est la suivante :
Chercher la periode pour la division euclidinne de  k^n par d puis montrer que kn+periode\equiv k^n[d]
ensuite ?


par rapport a 4^a\equiv 1[13]
je vois que PGCD(4;13)=1 alors ces nombres sont premiers entre eux alors d'apres le petit theoreme de Fermat a=12

Posté par
carpediem
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 17-04-19 à 23:56

carpediem @ 15-04-2019 à 20:19

salut

commence par la division de 3^0, 3^1, 3^2, ... jusqu'à ce que tu vois quelque chose ... que tu devras évidemment prouver ...
la réponse est là ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 18-04-19 à 06:43

Bonjour,
J'ai donné une méthode hier à 22h50.

Pour rédiger la conclusion avec 3n :
33 = 27 ; donc 33 1 [13] .
Les restes de la division euclidienne de n par 3 sont 0, 1 ou 2.
L'entier naturel n est de la forme 3k , 3k+1 ou 3k+2 .
33k = (33)k ; donc 33k 1k [13] ; donc le reste de ....
33k+1 = 33k3 ; donc 33k+1 13 [13] ; donc le reste de ....
Puis traiter 33k+2 .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 18-04-19 à 06:54

Pour 4n, je répète le conseil de carpediem à peine modifié :
Cherche des congruences modulo 13 pour 42 , 43 , 44 ... jusqu'à trouver 1 .
Tu es certain d'y arriver puisque tu connais Fermat.
Il y a mieux que 12.

Si tu trouves -1 pour 4b , alors tu peux accélérer avec 42b .

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 18-04-19 à 19:48

Pour b je trouve 3

si je recapitule on cherche un entier en puissance tel qu'on ait congru 1[p] d'abord ou on cherche la periode qui sera en puissance ??

Posté par
carpediem
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 19-04-19 à 10:00

donc tu n'as toujours pas compris ...

comment as-tu fait avec 3^n ?

ben tu fais la même chose avec 4^n ...

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 19-04-19 à 11:43

Bonjour ,
j'essaye ceci
4^3\equiv -1[13] alors pour entier naturel k 1[13]" alt="4^{3k}\equiv 1[13]" class="tex" /> suivant la parite de k
soit n alors il existe (q;r) x tel que n=3q+r , 0r<3 alors r{0,1,2} comme 4^n=43q.4r on a:

si n=3q, 4n-1[13] si n impair et 1[13] si  n pair alors reste=1 si n pair et -1 si n impair

si n=3q+1 , 4n-4[13] si n impair et 4[13] si n pair , alors reste =4 si n pair et -4 si n impair

si n=3q+2 , 4n-16[13] si n impair et 3[13] si n pair

travailler puissance 12 ne m'impliquerait il pas dans des calculs moins complique tenant compte de la parite ?

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 19-04-19 à 11:45

or un reste est toujours positif alors pour n=3q c'est 12 si n impair
pour n=3q+1 c'est  9 si n impair
et pour n=3q+2 c'est ahh je suis perdu :?

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 19-04-19 à 11:52

C'est juste travailler puissance 3 est plus simple que puissance 12

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 19-04-19 à 11:53

Ce qui est plus simple, c'est de travailler avec 46 .
46k .... [13] (a)

Puis utiliser (a) pour 6k+1 , 6k+2 , jusque 6k+5 .

Posté par
carpediem
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 19-04-19 à 12:09

ouais !!! tu vois bien que :

1/ 4^3 = -1

2/ que tu est aussi obligé ensuite de travailler et modulo 3 et modulo 2

3/ donc autant travailler modulo 6 ... puisque 4^6 = 1 [13]

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 19-04-19 à 12:13

et modulo 2 ??

Posté par
carpediem
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 19-04-19 à 12:16

ben parler de parité n'est-ce pas travailler modulo 2 ?  

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 19-04-19 à 12:47

alors j'ai ceci travaillant modulo[6] j'ai
si n=3q reste 1
n=3q+1 reste 4
n=3q+2 reste 8
n=3q+3 reste  12
n=3q+4 reste 9
n=3q+5 reste 10

Posté par
carpediem
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 19-04-19 à 12:58

ben non travailler modulo 6 c'est écrire n = 6q + ...

Posté par
Molotov79
re : Arithmetique: Reste division euclidienne 19-04-19 à 13:17

Oh pardon
alors

Molotov79 @ 19-04-2019 à 12:47

alors j'ai ceci travaillant modulo[6] j'ai
si n=6q reste 1
n=6q+1 reste 4
n=6q+2 reste 8
n=6q+3 reste  12
n=6q+4 reste 9
n=6q+5 reste 10

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