Donc 5^160≡4×5^2[77]≡4×25[77]≡100[77]≡23[77]

Alors il y a 23 bac_à ordures

oui.

Ce n'est pas facile pour moi de vite comprendre À votre place j'imagine ce que je ferais
Vous avez l'amour du prochain
Je vous remercie tous car vous avez tous donner pour que je comprends cet exercice. Permettez-moi de dire ceci:
Que Dieu vous protége
GRAND MERCI

vérification directe de 5^160 ≡ 23 [77] :

5^2 ≡ 25
5^4 ≡ 25^2 = 625 ≡ 9
5^5 ≡ 9*5 = 45
5^10 ≡ 45^2 = 2025 ≡ 23
5^20 ≡ 23^2 = 529 ≡ 67
5^40 ≡ 67^2 = 4489 ≡ 23
5^80 ≡ 23^2 ≡ 67 (déja calculé)
5^160 ≡ 67^2 ≡ 23 (déja calculé)

on n'a jamais besoin de calculer de nombres plus grand que 77² = 5929
et on n'a effectué que 8 multiplications et réductions modulo 77 (et encore certaines sont identiques)



on opère de même pour obtenir les restes de toutes les puissances une par une (ton tableau, d'ailleurs faux du 21-04-20 à 17:14)
on ne calcule jamais les valeurs des puissances de 5 individuelles, mais seulement leurs restes de proche en proche,
en multipliant par 5 le reste précédent
sans jamais avoir besoin de nombres plus grand que 5*77 = 385

dans un tableur cela se traduit par les formules suivantes :



la cellule B3 est le reste modulo 77 de 5 fois le reste précédent, contenu de la cellule d'avant
on "étire" alors la ligne 3 aussi loin qu'on veut vers le bas, pour avoir ainsi en moins de deux (le temps de taper ces 6 cases là) les restes modulo 77 des puissances de 5 aussi loin qu'on veut :

MERCI