salut

il n'y a aucun lien (ou presque) entre 1/ et 2/  ...

ne serait-ce pas plutôt 77 au lieu de 777 ?

c'est ce que je pensais aussi mais dans l'exercice c'est ce qui a été écrit. je ne sais plus quoi faire. est-ce que je vais le considérer comme une erreur, la corrigé puis continuer ?

tu peux très bien faire l'exercice avec 77 (pour t'entraîner) et qui est beaucoup plus vraisemblable ...

je ne comprends pas les nombres que tu as choisi pour ta question 1
si k = 0 alors 5 ^{4 k} = 1 donc ne peut pas être congru à 3 modulo 7

Essaie les puissances successives de 5 modulo 7 tu verras qu'il faut attendre 5 ⁶ pour avoir un reste égal à 1
donc les tests sont :
si n = 6 k alors r = 1
si n = 6 k + 1 alors r = 5 etc.

idem pour 11
A mon avis le 777 est une erreur d'énoncé (77 figure en hypothèse puis est caché dans le 7 11)

c'est vrai voici ce que j'ai trouvé

Pour n =
*4k'. r'=9
*4k'+1. r'=1
*4k'+2.  r'=5
*4k'+3.  r'=3
*4k'+4. r'=4


Pour n =
*5k'. r'=1
*5k'+1. r'=5
*5k'+2.  r'=3
*5k'+3.  r'=4
*5k'+4. r'=9

pour la suite je ne réussis pas à faire même avec 77

Au lieu de 6, j'avais mis 4

soit r le reste de la division euclidienne de 5ⁿ par 7 et k un entier relatif

Pour n =
*6k. r=1
*6k+1. r=5
*6k+2.  r=4
*6k+3.  r=6
*6k+4. r=2
*6k+5. r=3

soit r' le reste de la division euclidienne de 5ⁿ par 11 et k un entier relatif

Pour n =
*5k'. r'=1
*5k'+1. r'=5
*5k'+2.  r'=3
*5k'+3.  r'=4
*5k'+4. r'=9

Bonjour,
Oui, mais comment démontres-tu "6k. r=1" et "5k'. r'=1" ?
Les autres lignes en découlent.

Pour 77, essaye de trouver un a qui conviendrait dans
ak". r"=1

Permettez-moi d'utiliser "=" comme relation de congruence

5°=1[77]
5¹=5[77]
5²=25[77]
5³=48[77]
5⁴=9[77]
5^5=45[77]
5^6=71[77]
5^7=47[77]
5^8=4[77]
5^9=21[77]
5^10=23[77]
5^11=38[77]
5^12=36[77]
5^13=27[77]
5^14=53[77]

je n'arrive plus à continuer

Bon alors :
5⁵ 1 [11] et 5⁶ 1 [7] .

A utiliser pour trouver un entier a tel que 5^a 1 [77] .

Mais ce n'est pas l'esprit de l'exercice

bien sûr ...

cependant avoir la solution numérique peut permettre d'avoir et comprendre la solution théorique qui est évidemment celle attendue ...

Comment je vais donc réussir
à le faire ?

l'idée du tableur pour étendre sur plusieurs dizaines de lignes est à considérer, histoire de "voir" ce qu'il y a à voir, avant de (tenter de) le prouver

et en rapport direct avec la question 1

donc faire figurer les restes modulo 7 et les restes modulo 11 dans le même tableau est "intéressant" !

Ne vous fachez pas, je n'arrive toujours pas à me retrouver dans l'exercice.

???
je ne me fache pas du tout
j'insiste juste sur le fait que le conseil de carpediem est digne d'être exploré ...

"je n'arrive plus à continuer" disais tu le 21-04-20 à 17:14
un tableur peut continuer plus loin sans effort !
et continuer plus loin est obligatoire pour voir ce qu'il y a à voir.

Au fait je ne sais pas comment faire ou utiliser le tableur. (Ce que vous dites semble nouveau pour moi)

sans tableur ce sera travailler à l'aveugle pour chercher des pistes sans savoir où on va
à ce niveau (Terminale) il est obligatoire de savoir se servir d'un tableur, d'une calculette, de divers logiciels etc, bref des outils "modernes"

bof passons... ce serait une bonne occasion d'apprendre à s'en servir !

5^n ≡ 1 mod 77
s'écrit

5^n = 1 + 7*11*k = 1 + 7*(11*k) = 1 + 11*(7*k)
                 = 1 + 7*a     = 1 + 11*b

Avec ce qui vient d'être fait à mon avis il serait difficile de trouver multiple de n qui est en puissance

Je pense qu'on pourrait dire
donc 77 est à la fois un multiple de 11 et de 7

tu as vu que 5^6 ≡ 1 mod 7
donc 5^(6k) = (5^6)^k ≡ 1^6 ≡ 1 [7]

tous les n multiples de 6 donnent 5^n ≡ 1 [7]

ça c'était la question 1

et c'est ça qui fait intervenir des multiples (de 6) sur les exposants ...

77 =7*11 est une trivialité qui ne mérite pas d'avantage d'être soulignée !!
je te parle des 5^n

"donc à la fois ... "

c'était "donc 5^n est à la fois congru à etc"

traduction de la ligne que j'avais écrite juste au dessus :
5^n = 1 + 7*a = 1 + 11*b
que veut dire 5^n = 1 + 7a ?
que veut dire 5^n = 1 + 11b ?

et si ce n là donne 5^n ≡ 1 [7] c'est que n est multiple de 6 d'après la question 1 etc

Bonjour,
Une petite synthèse :

Sylvieg @ 21-04-2020 à 17:36

Bon alors :
5⁵ 1 [11] et 5⁶ 1 [7] .

A utiliser pour trouver un entier a tel que 5^a 1 [77] .

5^n est à la fois congru à 1 modulo 7 et à 1 modulo 11
5^n = 1 + 7*a = 1 + 11*b  veut dire que 5ⁿ=1[7]
5^n = 1 + 11b  veut dire que 5ⁿ=1[11]

5^6k=  1 [7]   5^6k - 1 est un multiple de 7
5^5=1 [11], on a
5^5k' =1 [11]  5^5k' - 1 est un multiple de 11
a=ln(5^(5k'+6k)-5^5k'-5^6k+2)÷ln5

On peux en déduire a tel que 5a-1 soit un multiple de 77.  

?? des logarithmes en arithmétique ?????
poubelle.

il faut comprendre ce qu'on écrit :

c'est le même nombre 5^n qui s'écrit 5^(5k) et 5^(6k' )
que n = 5k = 6k' !!!

(c'est à dire compléter mon message du 23-04-20 à 01:04 :
donc n est à la fois un multiple de ... et de ...)

donc n est à la fois un multiple de 5 et de 6

Ainsi n=30K

voila.

et le plus petit est ?
et conclusion :
5ⁿ ≡ 1 [77] si n est multiple de ...
les restes de la division de 5ⁿ par 77 sont périodiques de période ...


bon maintenant l'énoncé tel qu'il est écrit ici avec son 777 farfelu au lieu de 77
dit :
n tels que 5ⁿ soit congru à 4

alors soit c'est une erreur de plus et c'est la touche 1 juste en dessous du 4 sur un pavé numérique (le 777 étant quant à lui un bégayage de touche), et c'est fini.

soit c'est vraiment 4
et dans ce cas faire "presque pareil" avec 4 au lieu de 1
(mais bof .. à la main tu en avais deja trouvé une  solution)

mais chercher 5ⁿ ≡ 1 [77] n'était pas une perte de temps :
outre s'exercer à la méthode (dans un cas plus simple), cela donne la périodicité des restes de la division de 5ⁿ par 77
ce qui est fondamental pour conclure.

le plus petit est 0
et conclusion :
5n ≡ 1 [77] si n est multiple de 30
les restes de la division de 5n par 77

Oui pour 0, mais pas très intéressant.
Si n est un multiple de 30 alors 5ⁿ ? 1 [77].
La réciproque (non utile) ne va pas de soi.
Bref, avec k entier naturel, on a 5^30k 1 [77].

"les restes de la division de 5n par 77"

les restes de la division de 5n par 77 est 1

J'avais oublié la puissance

les restes de la division de 5^n par 77 est 1

Pas mieux.

Il va falloir que tu comprennes ceci :
y x [77] y x [7] et y x [11]

Bien sûr, c'est compris

Maintenant est-il possible de donner une réponse à la question posée?

Précise déjà la question :
Détermine les entiers naturels n tels que 5ⁿ soit congru à 4 modulo 77 ?

Selon moi on ne pourra plus répondre à la question car
5^6k=1[7] et 5^5k'=1[11]=> 5^((6k)(5k'))=1[77]=>5^30K=1[77]


5^(6k+1)=5[7] et 5^(5k'+1)=5[11]=> 5^((6k+1)(5k'+1))=5[77]=>5^(30kk'+6k+5k'+1)=1[77]
Après ceci je remarque qu'il n'y a plus de valeur de 5ⁿ qui congru à la  même valeur en modulo 11 et 7

Tu as tout de même écrit ceci le 21 à 17h14 :

Bien sûr et comment pourrai-je donc  trouver cela en ce moment ?

5^n ≡ 4 [7]
n = ?? (avec un k dedans)

5^n &equiv, 4 [11]
n = ?? (avec un k' dedans)

écrire que c'est le même n donne une équation à deux inconnues k et k'

** 5^n ≡ 4 [11]

Voici l'équation 11k'-7k=0

archi faux

5^n ≡ 4 [7]
n = ?? (avec un k dedans)
réponds deja à ça correctement (en lisant le tableau des restes modulo 7)

5ⁿ≡4[7]=>n=6k+2
5ⁿ≡4[11]=>n=5k'+3
On  en déduit que
6k-5k'=1=>k=5a+1,  k'=6b+1 avec a et des entiers relatifs

6k-5k'=1 oui

k=5a+1, k'=6b+1 avec a et (b ?) des entiers relatifs non
vérifions : 6*(5a+1) - 5*(6b+1) = 30a -30b +1
ce n'est pas 1 !

ce n'est pas a et b des entiers relatifs
c'est le seul et même a pour les deux

k = 5a + 1
k' = 6a +1
donc
n = 6k+2 = 6(5a+1)+2 = ... c'est à dire la réponse à ce qui est demandé.

et vérification :
n = 5k'+3 = 5(6a+1)+3 = ... pareil (encore heureux)

n = 6k+2 = 6(5a+1)+2 = 30a+8
n = 5k'+3 = 5(6a+1)+3 = 30a+8

C'est dommage de ne pas utiliser

oui.

<<Posté par  Sylvieg Moderateur  23-04-20 à 20:59
C'est dommage de ne pas utiliser
Citation :
5^8=4[77]
trouvé le 21 à 17h14.
58  4 [7] et 58  4 [11].

Faire apparaître 8 dans 6k+2 = 5k'+3 :
6(k-1) + 8 = 5(k'-1) + 8
D'où k-1 = 5q et k'-1 = 6q avec le même q entier.

Il y a sans doute moyen de présenter ça plus simplement, mais je n'ai pas le temps avant demain.>>

Comme demain n'est pas dans 1000 ans c'est déjà bon

Pour la dernière question étermine le nombre de bac à ordures
Énoncé:le nombre d'un bac à ordures est le reste de la division euclidienne de 5^160 par 77
Il n'y a pas possibilité de faire une déduction

160=30×5+(10)