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Niveau Maths sup
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Bandit manchot

Posté par
Ramanujan 02-05-20 à 01:08

Bonsoir,

J'ai attaché cette partie du texte car je ne vois pas comment refaire les symboles donnés.

On définie les événements G "la partie est gagnée" et E "la partie est perdue".

Partie A :

1/ Calculer P(G) et P(E).
P(G)=\dfrac{3}{3^3}= \boxed{\dfrac{1}{9}}
P(E)=1-P(G)=\boxed{\dfrac{8}{9}}

2/ Gain du casino.
On suppose qu'un joueur doit payer 3 euros à chaque fois qu'il veut jouer. En cas de partie gagnée, il gagne 15 euros. On suppose que le bandit manchot est utilisé 5000 fois en une journée.
a/ On note M_i la variable aléatoire qui représente le gain à la i-ème partie pour 1 \leq i \leq 5000. Donner la loi des variables aléatoires M_i ainsi que leur espérance.
b/ Quel est le gain moyen du casino sur une journée ?

Je trouve M_i=3^i-15

Et P(X=M_i)=(\dfrac{8}{9})^{i-1} \dfrac{1}{9}

L'espérance vaut E(X)=\sum_{i=1}^{5000} M_i P(X=M_i) \\ \\ = \dfrac{1}{9} \sum_{i=1}^{5000} (3^i -15) (\dfrac{8}{9})^{i-1}  

Je bloque ici.

Bandit manchot

Posté par
lionel52re : Bandit manchot 02-05-20 à 01:17

Mais what la question 2 une horreur tu sais ce qu'est une variable aléatoire????
Tu sais ce qu'est la loi d'une variable aléatoire ?
Quelles valeurs peut prendre M_i ??

Posté par
lionel52re : Bandit manchot 02-05-20 à 01:18

Et je suis sûr que tu confonds les expressions :
- A la i-eme partie
- Au bout de la i-eme partie

Posté par
flightre : Bandit manchot 02-05-20 à 08:30

salut

si Mi est la gain algebrique de la partie "i"  alors Mi peut prendre deux valeurs soit -3€ soit  +12€    qui sont en fait les gains algebriques

Posté par
flightre : Bandit manchot 02-05-20 à 08:31

+12 car il mise 3€ pour jouer et recois 15€ si il gagne  soit  -3+15 =+ 12€)

Posté par
flightre : Bandit manchot 02-05-20 à 08:45

... je pose    G  le nombre de fois que le joueur gagne .
                        P   le nombre de fois que le joueur perd .

on a   P + G = 5000   et j'introduis la variable aléatoire  M qui est le gain algébrique cumulé
sur la journée , alors    M = 12G - 3P = 12.G - 3(5000-G) =  15.G - 15000
E(M)= 15.E(G) -15000    comme G suit la loi binomiale B(5000;1/9)  alors E(G) = 5000/9
et donc E(M)=15.5000/9 -  15000 = -6666,66 €    de ce que j'ai compris de ce demi enoncé

Posté par
flightre : Bandit manchot 02-05-20 à 08:48

on aurai pu retrouver ce resultat  puisque E(Mi)= (1/9)12 - 3*(1/8)=-1,33 € par partie
puisqu'il y en a 5000  cela donne  -1,33..*5000 = -6666,66  €

Posté par
flightre : Bandit manchot 02-05-20 à 08:51

j'ai pri tes valeurs :  1/9 et 8/9  (puisque la premiere partie de l'enoncé n'est pas là )

Posté par
flightre : Bandit manchot 02-05-20 à 08:54

finalement pour  1/9 et  8/9  ok  ..

Posté par
Ramanujanre : Bandit manchot 02-05-20 à 17:27

Oui j'ai confondu. Flight je trouve la même chose que vous. Je mets la suite de l'énoncé.

Donc M_i =12 et P(X=M_i)= \dfrac{1}{9}

E(X)=\sum_{i=1}^{5000} 12 \times \dfrac{1}{9} = \dfrac{12}{9} 5000 \approx 6667

2/b/ Le gain moyen du casino sur une journée est d'environ 6667 euros.

3/ Première partie gagnée.
Un joueur décide de miser jusqu'à gagner une partie. On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties jouées pour gagner la première fois (y compris la première partie gagnée).
a/ Donner la loi de la variable aléatoire X.

Je trouve P(x=X)=\dfrac{1}{9} (\dfrac{8}{9})^{i-1}

Mais pour l'espérance, ça m'a l'air bizarre :

E(X)=\dfrac{1}{9} \sum_{i=1}^{+ \infty} i (\dfrac{8}{9})^{i-1}

Posté par
matheuxmatoure : Bandit manchot 02-05-20 à 17:37

R(x) = \sum_{i=0}^{n} x^i

se calcule plutôt bien...

et

R'(x) =  \sum_{i=1}^{n}i \;  x^{i-1}

se calcule donc bien aussi

appliquer à x=8/9

puis faire tendre n vers l'infini

Posté par
matheuxmatoure : Bandit manchot 02-05-20 à 17:38

et c'est P(X=i) ... pas P(x=X) qui ne veut rien dire

Posté par
Ramanujanre : Bandit manchot 02-05-20 à 17:48

Merci j'ai compris je fais le calcul.

Posté par
lafol Moderateurre : Bandit manchot 02-05-20 à 17:58

Bonjour

même interrogation que lionel52 quand je lis ce genre d'horreur :

Ramanujan @ 02-05-2020 à 17:27

Donc M_i =12 et P(X=M_i)= \dfrac{1}{9}

E(X)=\sum_{i=1}^{5000} 12 \times \dfrac{1}{9} = \dfrac{12}{9} 5000 \approx 6667

Posté par
Ramanujanre : Bandit manchot 02-05-20 à 18:07

Quelle horreur ? Je trouve le même résultat que flight.

Posté par
lafol Moderateurre : Bandit manchot 02-05-20 à 18:09

Quand à ça .... outre le fait qu'on parle du gain du casino et pas de celui d'un joueur ... comment dire, 3/8, ce n'est pas tout à fait 8/3 (de toutes façons c'était 8/9 et pas 1/8)... ...

flight @ 02-05-2020 à 08:48

on aurait pu retrouver ce résultat puisque E(Mi)= (1/9)12 - 3*(1/8)=-1,33 € par partie
puisqu'il y en a 5000 cela donne -1,33..*5000 = -6666,66 €

Posté par
lafol Moderateurre : Bandit manchot 02-05-20 à 18:11

l'horreur est surtout sur la première ligne ....
la deuxième ligne n'a juste aucun sens compte tenu de la première

Posté par
lionel52re : Bandit manchot 02-05-20 à 18:11

Faut absolument revoir les notions de proba un examinateur qui te voit écrire ce genre d'horreurs il est énervé pour la suite de la correction

Posté par
Ramanujanre : Bandit manchot 02-05-20 à 18:33

J'ai arrêté d'étudier le cours marre d'être bloqué toutes les 2 pages. Je fais des exercices de niveau terminale + pour éviter de rien faire et pratiquer des calculs simples comme l'espérance variance etc...

Posté par
XZ19re : Bandit manchot 02-05-20 à 18:43

Bonjour  
Le problème avec cette discipline,  c'est que  si on répond au hasard  parce qu'on pige que dalle, la probabilité d'avoir des points est nulle.
Tu ferais mieux d'étudier  ton cours  en particulier la loi de Bernoulli et la loi binomiale.  

Posté par
lafol Moderateurre : Bandit manchot 02-05-20 à 19:04

et commencer par la définition de "variable aléatoire" ! les deux lignes citées n'ont aucun sens ! c'est un peu du hasard si ça donne le résultat de flight au signe près ....

Posté par
Ramanujanre : Bandit manchot 02-05-20 à 19:28

Je regarde des vidéos youtube de niveau terminale sur les variables aléatoires et les lois binomiales.
Je reprendrai mon bouquin quand j'aurai retrouvé l'envie.

Je corrige.
Les valeurs possibles pour M_i sont 12 et -3.

Question 3
Un joueur décide de miser jusqu'à gagner une partie. On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties jouées pour gagner la première fois.
a) Donner la loi de la variable aléatoire X.
P(x=X)=(\dfrac{8}{9})^{i-1} \dfrac{1}{9}
b) Pour tout i \in \N montrer que la probabilité que le joueur joue au plus i parties avant de gagner pour la première fois est 1-(\dfrac{8}{9})^i
c) Donner l'espérance de la variable X.


Par rapport à l'indication de Matheux je trouve :

R'(x) \longrightarrow \dfrac{1}{(1-x)^2}

Donc E(X)=\dfrac{1}{9} \dfrac{1}{(1-\dfrac{8}{9})^2}

Enfin \boxed{E(X) = 9 }

Je ne trouve pas la question 3)b.

Posté par
XZ19re : Bandit manchot 02-05-20 à 19:51

Mais qu'est ce que ça veut dire P(x=X)  ?   D'ailleurs c'est quoi x?

Posté par
Ramanujanre : Bandit manchot 02-05-20 à 19:57

La probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur x.

C'est plutôt P(X=i) avec i le nombre de parties.

Posté par
XZ19re : Bandit manchot 02-05-20 à 19:59

et  i    appartient à quoi?  

Posté par
Ramanujanre : Bandit manchot 02-05-20 à 20:16

i \in \N^{*}

Posté par
XZ19re : Bandit manchot 02-05-20 à 21:20

Ok

Posté par
Ramanujanre : Bandit manchot 02-05-20 à 21:36

Comment faire la 3)b) ?
Mon espérance est-elle juste ?

Posté par
lionel52re : Bandit manchot 02-05-20 à 21:37

La proba de gagner avant le i-ème essai est  1 - la proba de perdre à tous les i premiers essais...............

Posté par
XZ19re : Bandit manchot 02-05-20 à 21:41

Ramanujan @ 02-05-2020 à 21:36

Comment faire la 3)b) ?
Mon espérance est-elle juste ?


Oui.  E(X)  c'est bon

Posté par
Ramanujanre : Bandit manchot 02-05-20 à 22:14

Ok merci. En effet l'événement contraire de perdre i parties c'est "il existe une partie gagné"

La suite.

On souhaite dorénavant prendre en compte dans le calcul des probabilités la possibilité que le bandit dysfonctionne. Lorsque c'est le cas, les écrans A et C affichent toujours le symbole * l'écran B continuant à afficher des résultats au hasard.
On note D "la machine dysfonctionne et on pose p=P(D).

1/ Calculer P_D (E) et P_D (E)
2/ En déduire P(E)=\dfrac{8-2p}{9}

Je trouve P_D(G)=\dfrac{1}{3} et P_D (E)=\dfrac{2}{3}

La formule des probabilités totales donne :
P(E)=P(D) P_D(E)+P(\bar{D}) P_{\bar{D}} (E)

Je ne vois pas comment calculer P_{\bar{D}} (E)

Posté par
lafol Moderateurre : Bandit manchot 02-05-20 à 22:30

faudra quand même faire la question 2 correctement ....

Posté par
Zormuchere : Bandit manchot 02-05-20 à 22:49

Ramanujan

\star               \circ                \square

\star \qquad \qquad  \circ \qquad \qquad \square

Posté par
Ramanujanre : Bandit manchot 02-05-20 à 23:25

La question 2 :

P(M_i =12)=\dfrac{1}{9}
P(M_i =-3)= \dfrac{8}{9}

E(X)=\sum_{i=1}^{5000} ( 12  \times  \dfrac{1}{9} - 3 \times \dfrac{8}{9} )=5000 \times \dfrac{-12}{9}  \approx - 6 666  

Posté par
lionel52re : Bandit manchot 03-05-20 à 00:40

C'est quoi P(E sachant D barre)???? Indice : tu l'as deja calculé

Posté par
Ramanujanre : Bandit manchot 03-05-20 à 03:22

La probabilité de perdre sachant que la machine ne dysfonctionne pas.

Du coup P(E)= p \times \dfrac{2}{3} + (1-p) \dfrac{8}{9} = \dfrac{6p+8-8p}{9}= \boxed{\dfrac{8-2p}{9} }

2 dernières questions...

3/ Soit R la variable aléatoire égale au gain du casino lors d'une partie jouée. Déterminer la valeur maximale de p pour que l'espérance de gain soit positive.
4/ Un joueur joue une partie, on suppose qu'il gagne. Quelle est la probabilité, en fonction de p, que le bandit manchot ait dysfonctionné ?

Je trouve P(R=-3)= \dfrac{8-2p}{9} et P(R=12)=\dfrac{1+2p}{9}

Calculons l'espérance :

E(X)=-3 \dfrac{8-2p}{9} + 12 \dfrac{1+2p}{9}

Ce qui donne \boxed{ E(X)=\dfrac{30p-12}{9}}

La condition E(X) \geq 0 donne p \geq \dfrac{12}{30}=0,4

Mais je trouve un valeur minimale de p alors qu'on demande une valeur maximale

Posté par
lionel52re : Bandit manchot 03-05-20 à 09:51

Erreur  d'enoncé et faut avoir un peu de sens critique dans la vie pour p=0 tu as vu que lesperance etait negative donc..

Posté par
flightre : Bandit manchot 03-05-20 à 11:54

salut

pour la 3b) on demande  de trouver P(Xi)=P(X=1)+P(X=2)+...+P(X=i)
(1/9) + (8/9).(1/9) +  (8/9)².(1/9) +.....+ (8/9)i-1)(1/9) =
(1/9).(8/9)j-1    pour j compris entre 1 et i  , à toi pour arriver à la formule demandée

Posté par
flightre : Bandit manchot 03-05-20 à 12:08

Pour la derniere question , attention le casino peut soit  gagner  +3€  ou perdre 12€  (-12€)
en effet il recoit  +3€ , si le joueur perd , le casino les gardes , si le joueur gagne  en ayant misé 3€ , le casino recoit  +3 €  pour son compte  et il debite de son compte  -15 €  il a donc un solde sur son compte de -12 €

Posté par
lafol Moderateurre : Bandit manchot 03-05-20 à 16:40

ce que flight appelle dernière question est en réalité la question 2b) ...

sinon la 2a) n'est toujours pas terminée
et pour la 2b) X n'a pas été défini et son calcul pas expliqué

Posté par
lafol Moderateurre : Bandit manchot 03-05-20 à 16:41

et ça serait bien de ne pas renommer les variables nommées par l'énoncé ! R c'est R, pas X !

Posté par
Ramanujanre : Bandit manchot 03-05-20 à 20:42

La 2/a j'ai trouver -1666 euros.
La 2/b le gain du casino est de 1666 euros.

La dernière question on cherche P_G (D).

On sait que P_G(D)=\dfrac{P(G \cap D)}{P(D)}=\dfrac{P(G \cap D)}{p)}

Or P(G \cap D)=P(G) \times P_D(G) = \dfrac{1}{27}

Donc P_G(D)=\dfrac{1}{27 p}

Posté par
Ramanujanre : Bandit manchot 04-05-20 à 00:04

Ca m'a l'air étrange : si la probabilité que la machine dysfonctionne est grande, la probabilité qu'il gagne sachant qu'elle a dysfonctionné est petite.

Posté par
lafol Moderateurre : Bandit manchot 04-05-20 à 00:08

la 2a) : archifaux ! une des propriétés de l'espérance, c'est quand même d'être entre les valeurs extrêmes de la variable
M_i ne prenant que les valeurs 3 et -12, (déjà ça, ce n'était pas bon, tu as inversé les signes) E(M_i) n'a aucune chance de valoir -1666 !

Posté par
lafol Moderateurre : Bandit manchot 04-05-20 à 00:16

D'ailleurs pour R aussi, échange des signes ... pour ça que tu as cru trouver un min alors qu'on cherchait un max....

Posté par
lionel52re : Bandit manchot 04-05-20 à 00:30

Ramanujan @ 03-05-2020 à 20:42

La 2/a j'ai trouver -1666 euros.
La 2/b le gain du casino est de 1666 euros.

La dernière question on cherche P_G (D).

On sait que P_G(D)=\dfrac{P(G \cap D)}{P(D)}=\dfrac{P(G \cap D)}{p)}

Or P(G \cap D)=P(G) \times P_D(G) = \dfrac{1}{27}

Donc P_G(D)=\dfrac{1}{27 p}





1666 euros que tu t'es trompé sur P(G)

Posté par
lafol Moderateurre : Bandit manchot 04-05-20 à 00:34

je ne comprends pas qu'on s'obstine à faire les questions 3, 4 etc quand déjà les premières ne sont pas ok

Posté par
Ramanujanre : Bandit manchot 04-05-20 à 00:48

Ok j'ai compris l'erreur.

Posté par
Ramanujanre : Bandit manchot 04-05-20 à 01:01

P(G)=\dfrac{1}{9} je ne vois pas l'erreur pour la dernière question.

Posté par
lionel52re : Bandit manchot 04-05-20 à 01:03

Bah non P(G) ne vaut pas 1/9 .......

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