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barycentre d'un système pondéré de points

Posté par
jeansch
13-10-21 à 21:13

Bonjour,
J'ai un dm de maths à faire sur les barycentres, or je n'ai jamais entendu parler de ça et je n'ai pas de cours dessus...voilà l'énoncé:

SUJET:
A) AVEC DEUX POINTS
On considère une balance représentée par le segment [AB] de longueur 10cm et on suspend une masse mA = 2kg en A et une masse mB = 6kg en B.
On cherche le point d'équilibre G de ce système.
La deuxième loi de Newton appliquée à un solide en rotation permet d'écrire la relation : mAGA + mBGB = 0. On dit que le point G est le barycentre du système de points pondérés {(A; mA), (B; mB)}, où les masses sont les coefficients affectés aux points A et B.
1) Dans l'exemple donné,
a) Exprimer, à l'aide de la relation de Chasles, le vecteur AG en fonction du vecteir AB.
b) Construire le point G
2° De manière générale, exprimer le vecteur AG en fonction du vecteur AB
3) En mathématiques, dans le système {(A; a), (B; b)}, les coefficients a et b peuvent être négatifs. Dans le cas où a+b= 0 que se passe-t-il pour le point G,
En déduire une condition d'existence du barycentre.

B) AVEC PLUSIEURS POINTS
De même, dire que G est le barycentre du système {(A; a), (B; b), (C; c)} signifie que aGA + bGB + cGC = 0
1) On étudie le cas particulier du barycentre du système {(A; 1), (B; 1), (C; 1)}. On note I le milieu de [BC]
a) Exprimer le vecteur AG en fonction du vecteur AI. En déduire que le point G appartient à la médiane (AI).
b) Démontrer que les trois médianes du triangle sont concourantes en G.

2) De manière générale, on note H le barycentre du système {(B; b), C; c)} quand il existe.
a) Démontrer que G est aussi le barycentre du système {(A; a), (H; b+c)}.
3) Construire le barycentre du système {(A; 1); (B; 2), (C; 3)}.
4) Construire le barycentre du système {(A;-1), (B; 3), (C; 2), (D; 1)}

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
hekla
re : barycentre d'un système pondéré de points 13-10-21 à 21:17

Bonsoir

Que proposez-vous ?
1 usage de la relation de Chasles

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : barycentre d'un système pondéré de points 14-10-21 à 14:10

Bonjour jeansch,
cette fiche pourra t'aider : cours sur les barycentres

Posté par
ty59847
re : barycentre d'un système pondéré de points 14-10-21 à 14:51

dire que G est le barycentre du système {(A; a), (B; b), (C; c)} signifie que aGA + bGB + cGC = 0

Ces phrases peuvent paraître compliquées, abstraites.

Expliqué comme ça, il faut du courage pour comprendre.

C'est quoi un barycentre, concrètement.

Imagine que tu as des boules de pétanque, ou plus généralement des masses assez lourdes, de poids éventuellement différents.
Donc par exemple 2 boules de 1 kilo, et une autre de 5 kilos.
Ces boules sont reliées entre elles par une petite structure en bois, de poids négligeable.
Donc par exemple, les 3 boules sont aux 3 sommets d'un triangle équilatéral.
Et on cherche le centre de gravité de cet assemblage.
Intuitivement, ce centre de gravité va être assez près de la boule la plus lourde.....
C'est exactement cette relation qui est écrite dans cette formule aGA+bGB+cGC=0

Barycentre=centre de gravité, dans le cas général.
Isobarycentre=Centre de gravité, dans le cas particulier où toutes les boules ont le même poids .... tout simplement parce que le préfixe grec iso signifie identique, égal...

Posté par
jeansch
re : barycentre d'un système pondéré de points 14-10-21 à 18:58

1) Pour la relation de Chasles, je dirais que :
AG = AB - GB, soit :
AG = AB + BG

1b) /
2) Pour exprimer de manière générale le vecteur AG en fonction de AB, je fais :
AG= xAB + yBG ?

Posté par
hekla
re : barycentre d'un système pondéré de points 14-10-21 à 19:24

1 a)  Dans l'exemple,  on a 2\vec{GA}+6\vec{GB}=\vec{0}

\vec{GB}=\vec{GA}+\vec{AB}

Remplacez et continuez

Posté par
jeansch
re : barycentre d'un système pondéré de points 16-10-21 à 13:33

2GA + 6GB = 0
2GA = -6GB
2GA = -6(GA + AB)
2GA = -6GA - 6AB
8GA = -6AB
4GA = -3AB
GA = -3/4AB
AG= 3/4 AB

Est ce correct ?

Concernant la question 1b) Construire le point G
Il me suffit de schématiser la situation et de le placer aux 3/4 d'AG?

Posté par
hekla
re : barycentre d'un système pondéré de points 16-10-21 à 13:52

Oui
\vec{AG}=\dfrac{3}{4}\vec{AB}

Non. Comment pouvez-vous placer G aux trois quarts de  AG ?

Faites attention,  AB alors cela fonctionne

Posté par
jeansch
re : barycentre d'un système pondéré de points 16-10-21 à 15:29

oui, en effet, merci de m'avoir rectifié.

Pour la question 2) De manière générale, exprimer le vecteur AG en fonction du vecteur AB
J'écris simplement : AG=xAB ?

Posté par
hekla
re : barycentre d'un système pondéré de points 16-10-21 à 15:35

Ce sera la fin de la démonstration,  mais avant il faudra dire ce que vaut ce  x

 a\vec{GA}+b\vec{GB}=\vec{0}

Vous faites comme précédemment avec 2 et 6, mais cette fois avec a et b

À la fin vous pourrez vérifier en donnant à a la valeur 2 et à b la valeur 6

Posté par
jeansch
re : barycentre d'un système pondéré de points 16-10-21 à 15:49

aGA = bGB = 0
aGA = -bGB
aGA = -b(GA + AB)
aGA = -bGA - bAB
a+bGA = -bAB
GA = -b/a+b x AB
AG = b/a+b x AB

Si je vérifie avec 2 et 6, j'obtiens bien, 6/2+6AB, soit 6/8AB=3/4AB

3) Si a+b = 0, alors on ne peut pas définir le barycentre du système. On peut donc en déduire que pour que pour que le point G existe, il faut que a +b ne soit pas égal à 0 ?

Posté par
hekla
re : barycentre d'un système pondéré de points 16-10-21 à 16:03

Une petite erreur au début, il fallait appuyer aussi sur Maj pour avoir + et non =

Il serait intéressant de voir ce qui se passe, si a+b=0

\vec{GA}-\vec{GB}=\vec{0} on a alors A=B ce qui est faux puisque A et B sont distincts

Posté par
jeansch
re : barycentre d'un système pondéré de points 16-10-21 à 16:12

en effet je me suis trompé, je voulais bien mettre un "+"

Je ne comprends pas là où vous voulez en venir avec GA - GB = 0...

Posté par
hekla
re : barycentre d'un système pondéré de points 16-10-21 à 16:22

À voir ce qui se passe lorsque  a+b=0

ou pourquoi G n'existe pas.

Posté par
jeansch
re : barycentre d'un système pondéré de points 17-10-21 à 08:59

On cherche un point G vérifiant: aGA + bGB = 0
aGA + bGB = aGA + b(GA + AB)
aGA + bGB = (a + b)GA + bAB
aGA + bGB = 0 ??

Posté par
hekla
re : barycentre d'un système pondéré de points 17-10-21 à 09:42

Que voulez-vous faire  ?

Si vous êtes dans le cas a+b=0 alors b=-  a et par suite on peut prendre a=1

\vec{GA}-\vec{GB}=\vec{0}\quad \vec{GA}=\vec{GB}

On aurait A=B, mais comme ils sont distincts ce n'est pas possible

Posté par
jeansch
re : barycentre d'un système pondéré de points 17-10-21 à 14:19

ah mais oui! J'ai cherché trop compliqué pour le coup
B) AVEC PLUSIEURS POINTS
De même, dire que G est le barycentre du système {(A; a), (B; b), (C; c)} signifie que aGA + bGB + cGC = 0
1) On étudie le cas particulier du barycentre du système {(A; 1), (B; 1), (C; 1)}. On note I le milieu de [BC]
a) Exprimer le vecteur AG en fonction du vecteur AI. En déduire que le point G appartient à la médiane (AI).

Pour cette question j'ai trouvé :
1GA + 1GB + 1GC = 0
1GA +1(GI+IB) +1(GI+IC)=0
1GA + 1GI -1/2BC + 1GI +1/2BC =0
1GA + 1GI + 1GI = 0
1GA + 2GI =0
1GA + 2(GA+AI) =0
1GA + 2GA + 2AI = 0
3GA =-2AI
-3AG = -2AI

Le point G appartient à la médiane AI car on a -3AG=-2AI

Posté par
hekla
re : barycentre d'un système pondéré de points 17-10-21 à 14:38

On peut faire plus simple

G isobarycentre de A B et C

 \vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}

 \vec{GA}+\vec{GI}+\vec{IB}+\vec{GI}+\vec{IC}=\vec{0}

I milieu de [BC] \vec{IB}+\vec{IC}=\vec{0}

On remarque au passage que I est l'isobarycentre de B et C

Donc
\vec{GA}+2\vec{GI}=\vec{0}  Remarque :  Ceci suffisait pour dire que G appartenait à la médiane (AI)

On peut aussi remarquer que le barycentre total n'a pas changé en remplaçant deux points par leur barycentre affecté de la somme des coefficients.

\vec{GA}+2\vec{GA}+2\vec{AI}=\vec{0} d'où \vec{AG}=\dfrac{2}{3}\vec{AI}

b on réitère la démarche en changeant de milieu

Posté par
jeansch
re : barycentre d'un système pondéré de points 17-10-21 à 16:28

Mais je dois prendre quel milieu ? G?

Posté par
hekla
re : barycentre d'un système pondéré de points 17-10-21 à 16:32

Vous avez pris I milieu de [BC]
maintenant on prend J milieu de [CA] puis K milieu de [AB]

Posté par
jeansch
re : barycentre d'un système pondéré de points 17-10-21 à 17:12

et je fais aussi AG en fonction de AI?

Posté par
hekla
re : barycentre d'un système pondéré de points 17-10-21 à 17:27

Vous avez montré que G appartenait à la médiane (AI) maintenant on va montrer que G appartient à la médiane (BJ)
puis, que G appartient à la médiane (CK) C'est la même démonstration


 \vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}

 \vec{GJ}+\vec{JA}+\vec{GB}+\vec{GJ}+\vec{JC}=\vec{0}

J milieu de [AC] \vec{JC}+\vec{JA}=\vec{0}

Donc
\vec{GB}+2\vec{GJ}=\vec{0}   G appartient à la médiane (BJ)


ou si vous préférez on tourne  A devient B, B devient C, C devient A

 \vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GA}=\vec{0}

 \vec{GB}+\vec{GJ}+\vec{JC}+\vec{GJ}+\vec{JA}=\vec{0}

J milieu de [CA] \vec{JC}+\vec{JA}=\vec{0}

On remarque au passage que I est l'isobarycentre de C et A

Donc
\vec{GB}+2\vec{GJ}=\vec{0}   G appartenait à la médiane (BJ)

Posté par
jeansch
re : barycentre d'un système pondéré de points 17-10-21 à 18:16

donc pour montrer que G appartient à la médiane CK, on fait :
GA + GB + GC = 0
GK + KA + GB + GK + KC = 0
K milieu de [AB] KC + KA = 0
donc GB + 2GK = 0
G appartient à la médiane (CK)

Posté par
hekla
re : barycentre d'un système pondéré de points 17-10-21 à 18:25

Avez-vous réalisé une figure ? J'ai l'impression que vous vous perdez dans les points

 \vec{GC}+\vec{GA}+\vec{GB}=\vec{0}

 \vec{GC}+\vec{GK}+\vec{KA}+\vec{GK}+\vec{KB}=\vec{0}

K milieu de [AB] \vec{KA}+\vec{KB}=\vec{0}


Donc
\vec{GC}+2\vec{GK}=\vec{0}  G appartient à la médiane (CK)


G appartenant aux trois médianes, elles sont donc concourantes

Posté par
jeansch
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 11:26

j'ai fait une figure mais me suis complètement emmêlé…
Pour la question :
2) De manière générale, on note H le barycentre du système {(B; b), C; c)} quand il existe.
a) Démontrer que G est aussi le barycentre du système {(A; a), (H; b+c)}.

J'ai trouvé :
On a G barycentre de {(A; a), (B; b), (C; c)} donc aGA + bGB + cGC = 0
On a H barycentre de {(B; b), (C; c)} soit  bKB+ cKC = 0
Comme H barycentre de {(B; b), (C; c)}, on a bGB + cGC = (b +c)GH donc, en remplaçant, on a :
(b+c)GH =cGC =0

Posté par
hekla
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 11:50

C'était bien parti

G barycentre de (A,a), (B,b), (C,c)

traduction a\vec{GA}+b\vec{GB}+c\vec{GC}=\vec{0}

On fait intervenir le point H

a\vec{GA}+b\vec{GH}+b\vec{HB}+c\vec{GH}+c \vec{HC}=\vec{0}

on simplifie a\vec{GA}+(b+a)\vec{GH}+b\vec{HB}+c \vec{HC}=\vec{0}

On sait que H est le barycentre de (B, b) (C, c) donc b\vec{HB}+c\vec{HC}=\vec{0}

Il en résulte a\vec{GA}+(b+c)\vec{GH}=\vec{0}

traduction a+b+c\not=0 G est le barycentre de (A, a) et de (H, b+c). Et c'est tout

Que vient faire K ici  ?  Erreur de frappe

On remplace dans l'égalité de départ

Posté par
jeansch
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 13:38

merci de m'avoir éclairé

3) Construire le barycentre du système {(A; 1); (B; 2), (C; 3)}.
1GA + 2GB + 3GC = 0
considérons le point H barycentre de A(1) B(2) C(3), on a donc :
1HA + 2HB + 3HC = 0

je suis bloquée à cette étape, je ne sais pas ce que je dois faire après

Posté par
hekla
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 14:17

Prendre exemple sur ce qui précède

les barycentres partiels existent tous
1+2\not=0
2+3\not=0
1+3\not=0

Si vous avez remarqué que si les coefficients étaient les mêmes, pour un barycentre de 2 points, alors c'était le milieu  
On va donc choisir H barycentre de (A, 1) (B, 2) ainsi G sera le barycentre de (H,3) (C,3)

On a vu, lors des premières questions en adaptant, que \vec{AH}=\dfrac{2}{1+2}\vec{AB}

On construit donc H (c'est le centre de gravité du triangle ABC)  Puis G qui est le milieu de [HC]

Posté par
hekla
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 14:20

Remarque : En bref, vous avez donné deux noms au barycentre des 3 points H et G puisque vous écrivez la même relation vectorielle.
Il faut passer par des barycentres partiels.

Posté par
hekla
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 14:30

Quant à la dernière question   G barycentre de {(A;-1), (B; 3), (C; 2), (D; 1)}

on peut construire H, le barycentre de (A, -1) (B, 3)

puis K le barycentre de (C, 2) (H, 2)

enfin G le barycentre de (K, 4) (D,1)

N.B.  Ce n'est qu'une proposition, d'ailleurs il y a une construction plus astucieuse

Posté par
jeansch
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 15:56

donc pour la 3)
je dois faire :
1HA + 2HB + 3HC = 0
-2/3AB + 2HB + 3HC = 0 ?

Posté par
philgr22
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 16:01

Bonjour
Je me permet d'intervenir:as tu compris la difference d'utilisation des deux formules de definition du barycentre?

Posté par
philgr22
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 16:14

La relation de construction permet de construire le barycentre global G à partir d'un barycentre partiel  et d'un vecteur connu
par exemple HG= k HC

Posté par
jeansch
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 16:15

non pas vraiment...

Posté par
jeansch
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 16:16

et mon vecteur connu c'est donc AH = 2/3 AB ?

Posté par
philgr22
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 16:17

Pour aboutir à celà c'est la formule d'associativité qui te sert:
(aGA+bGB)+cGC=0 sachant que aGA+bGB = (a+b)GK

Posté par
philgr22
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 16:19

jeansch @ 18-10-2021 à 16:16

et mon vecteur connu c'est donc AH = 2/3 AB ?

cette relation te permet de construire H et tu remplaces ensuite dans la definition globale de G comme je viens de te l'indiquer

Posté par
hekla
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 16:21

Je garde les mêmes notations que précédemment

G barycentre total et H barycentre partiel

G est le barycentre de (A, 1) (B, 2) et (C, 3)

Traduction  \vec{GA}+2 \vec{GB}+3\vec{GC}=\vec{0} On veut construire G vérifiant cette égalité

On introduit H barycentre de (A,1) et (B,2)

Donc \vec{AH}=\dfrac{2}{3}\vec{AB} Cette relation permet de construire le point H

On revient à G. On peut donc dire que G est le barycentre de H affecté de 1+2  =3 et de C affecté de 3

soit vectoriellement 3\vec{GH}+3\vec{GC}=\vec{0} ou encore \vec{GH}+\vec{GC}=\vec{0}

Cette dernière égalité caractérise le milieu d'un segment, ici le segment [GC]
barycentre d\'un système pondéré de points

Le point D est juste là pour montrer que H est au 2/3 de [AB]

Posté par
jeansch
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 16:24

donc :
HA + 2HB = 0
-2/3AB + 2HB=0
sachant que aGA+bGB = (a+b)GK:
aHA+bHB = (a+b)GK= (-2/3 + 2)HC?

Posté par
philgr22
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 16:27

pardon ! j'ai mis K au lieu de H!!! Je t'embrouille....
D'autre part je vois qu'hekla est revenu alors je le laisse reprendre le relai

Posté par
hekla
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 16:35

Vous mélangez un peu
Quel est l'intérêt d'écrire que \vec{HB}=\dfrac{1}{3}\vec{AB}
 \\

La relation vectorielle sert à placer le barycentre partiel. Que vous partiez de A ou de B ne change rien

Vous ne faites pas les présentations pourquoi revenir à a et b ?

La dernière ligne n'est guère compréhensible
Que vient faire ce 2/3 ce n'est pas un poids affecté à un point

Posté par
hekla
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 16:36

Bonjour philgr22

Taper le texte puis faire la figure prend du temps

Posté par
jeansch
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 16:50

je suis totalement perdu..

Posté par
hekla
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 17:09

Reprenons

première étape : barycentre de deux points
G barycentre de (A, a) (B, b)
il existe si la somme des coefficients est non nulle et pour le placer on a démontré la relation vectorielle
\vec{AG}=\dfrac{b}{a+b}\vec{AB}

deuxième étape : barycentre de 3 points
Notation

G barycentre de (A, a) (B, b) (C, c)  a+b+c\not=0

H barycentre partiel de (B, b) (C, c)

Démonstration
G barycentre de (A,a), (B,b), (C,c)

traduction a\vec{GA}+b\vec{GB}+c\vec{GC}=\vec{0}

On fait intervenir le point H

a\vec{GA}+b\vec{GH}+b\vec{HB}+c\vec{GH}+c \vec{HC}=\vec{0}

on simplifie a\vec{GA}+(b+a)\vec{GH}+b\vec{HB}+c \vec{HC}=\vec{0}

On sait que H est le barycentre de (B, b) (C, c) donc b\vec{HB}+c\vec{HC}=\vec{0}

Il en résulte a\vec{GA}+(b+c)\vec{GH}=\vec{0}

traduction a+b+c\not=0 G est le barycentre de (A, a) et de (H, b+c).

Troisième étape   Application construction de G

Notation
G barycentre de (A, 1) (B, 2) (C, 3)  a+b+c\not=0

H barycentre partiel de (A, 1) (B, 2)

  D'après les questions précédentes  

\vec{AH}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}

étape intermédiaire

G est le barycentre de (H, 3) et de (C, 3)   3\vec{GH}+3\vec{GC}=\vec{0}\iff \vec{GH}+\vec{GC}=\vec{0}\

Conclusion G est le milieu   La relation vectorielle est caractéristique du milieu d'un segment
ou on reprend
\vec{HG}=\dfrac{3}{3+3}\vec{HC}  Ce qui donne aussi le milieu de [HC]


Posté par
jeansch
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 20:29

c'est donc ça la justification pour la question 3?

Posté par
hekla
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 20:41

Vous disiez être perdu donc j'ai tout repris

pour la 3  

G barycentre de (A, 1) (B, 2) (C, 3)

\vec{GA}+2\vec{GB}+3\vec{GC}=\vec {0}

Considérons H le barycentre de (A,1) (B,2) il est tel que \vec{AH}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}


G est le barycentre de (H, 3) et de (C, 3)   3\vec{GH}+3\vec{GC}=\vec{0}\iff \vec{GH}+\vec{GC}=\vec{0}\
G est le milieu de [HC]

Posté par
jeansch
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 21:01

mille mercis pour votre précieuse aide!

Posté par
hekla
re : barycentre d'un système pondéré de points 18-10-21 à 21:03

La dernière question pas de problème ?



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