Annuler
connectez vous
- Produit Scalaire dans l'espace - Cours terminale S
- Produit Scalaire dans l'espace - Exercice Terminale S
- Onze Exercices divers sur les vecteurs - première
- Fonction exponentielle - Fiche de Cours terminale
- Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés
- Limites de fonctions - Cours sur les limites
- Fiche sur les nombres complexes - terminale
- Cours sur les suites en Terminale S
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Produit scalaireTopics traitant de produit scalaire [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Barycentre, ensembles de points.
Posté par Linkou62
Bonjour !
J'aurais besoin d'un petit coup de pouce sur un exo sur le barycentre.
Voila, on a un triangle ABC équilatéral, de côté 2
Soit G barycentre de (A;-1)(B;2)(C;2).
Tout d'abord, il s'agit de construire G.
En utilisant une forme réduite en A, j'obtiens l'égalité vectorielle:
AG = 2/3 AB + 2/3 BC (le tout en vecteurs)
Jusque là, c'est ok, mais ensuite, il faut prouver que les droites (GC) et (AC) sont perpendiculaires. Il faudrait donc prouver que GC.AC = 0 (encore en vecteurs).
Cependant, j'ai beau décomposer ces vecteurs à l'aide de la relation de Chasles, je tourne en rond !
Pour la suite de l'exo, j'ai encore quelques problèmes je les posterai une fois celui-ci résolu.
Merci de me donner un peu d'aide ! J'aimerais par exemple savoir s'il faut bien partir du produit scalaire nul, puis décomposer avec Chasles. Si oui, on est censé arriver à quelle égalité ? Celle du barycentre ?
Apportez moi vos lumières 
Bonjour,
ta construction est fausse parce que ta relation vectorielle l'est aussi
En effet on n'a pas AG=2/3 AB + 2/3 BC sinon AG=2/3 AC d'après Chasles, mais G n'est pas aligné avec A et C.
Le mieux est d'utiliser un barycentre partiel, celui I de (B,2);(C,2), qui est le milieu de [BC].
Alors par associativité, G est le barycentre de (A;-1);(I;4).
D'où -GA+4GI=0 d'où par Chasles:
3GA+4AI=0.
Ainsi: AG=4/3AI.
Pour le produit scalaire, décompose GC en GA+AC puis pour GA.AC projette C sur (AG) en utilisant le fait que ABC est isocèle en A.
Oups, au temps pour moi, faute de frappe. Pour ma relation j'ai plutôt:
AG = 2/3 AB + 2/3 AC
Je vais voir pour la projection, merci !
Je bloque au niveau de la projection, je ne comprends pas vraiment ce qu'il faut faire par la suite.
J'ai procédé de la sorte:
GC.AC = (GA + AC).AC = GA.AC + AC² (vecteurs)
La projection de C sur AG me donne le barycentre I que vous avez utilisé pour la construction de G.
Le projeté du vecteur AC sur (AG) est AI, qui a pour valeur AC*(rac3)/4
En passant, le triangle équilatéral ABC a pour côté 2rac3 et non pas 2 (la racine n'est apparemment pas passée avec les balise.
Revenons au produit scalaire:
GA.AC + AC²
On connait AC² = (2rac3)² si je ne me trompe pas
J'ai encore du mal a comprendre pour le produit scalaire GA.AC ! Désolé !!
GA.AC revient à calculer AI * AG.
On connait AI car on travaille dans un triangle équilatéral. Mais qu'en est-il de AG?
GA.AC=GA.AI en vecteurs d'accord?Les vecteurs GA et AI sont de sens contraires.
Donc en longueurs (donc sans les flèches), tout ceci vaut -AG.AI.
Tu suis?
oui, je comprends. Je n'avais pas cette égalité car je n'ai pas construis G à l'aide de l'associativité ! Je crois pouvoir faire la suite ! merci
Oups! Un léger problème, je me permet de faire une remarque.
La hauteur/mediatrice/medianne/bissectrice d'un triangle équilatérale, ayant pour côté a ne serait-elle pas égale à (rac3/2) * a
Vous avez écrit, AI = (rac3/4) * AC
S'il n'y a pas d'erreur, je n'ai malheureusement pas compris :p
Je poursuis le raisonnement en supposant qu'il y a bien erreur:
GA.AC (en vecteurs) revient à calculer -GA*AI par projection.
or, AG = 4/3 AI
avec AI = rac3/2 * a = rac3/2 * 2rac3 = 3
donc AG = 4.
<=> -AG.AI = -12.
Revenons en au premier produit scalaire, on devait avoir:
GC.AC (vecteurs)
(GA + AC).AC (vecteurs)
GA.AC + AC²
soit -12 + (2rac3)² = -12 + 12 = 0
conclusion: GC.AC = 0, donc les droites (GC) et (AC) sont perpendiculaires !!
dans ce cas, merci beaucoup pour ton aide !
J'avais vraiment quelques problèmes avec tout ce qui est projection, ça à l'air d'aller mieux !! Encore merci 
Re bonjour, je suis à la fin de l'exo, dernière question.
On a un ensemble D des points M du plan tels que:
(-MA + 2MB +2MC).CG = 12 (vecteurs)
a) montrer que M € D <=> GM.CG = -4 (vecteurs) --> j'ai réussi.
b) vérifier que A est un point de D --> j'ai réussi (en projetant )
c) En déduire que M € D <=> AM.CG = 0 (vecteurs)
Identifier D et le tracer.
Pour la c) je bloque au niveau du produit scalaire à retrouver quand M € D. Que faire?
Alala ! J'en étais arrivé à cette écriture, mais j'ai pas vu ce qu'il fallait voir... encore merci.
L'ensemble D est AM.CG = 0 ce qui signifie que (GM) est perpendiculaire a (CG), donc l'ensemble D est en fait la droite perpendiculaire a (CG) passant par le point A !
Promis la prochaine fois, j'apprends à me servir du LaTeX !
Citation :
ce qui signifie que (GM) est perpendiculaire a (CG),
ce qui signifie que (GM) est perpendiculaire a (CG),
-> que (AM) est perpendiculaire à (CG) plutôt
Mais ce n'est qu'une erreur de frappe je présume!
Ta conclusion est juste!
Pour le Latex, c'est plus joli mais je ne m'en sers pas toujours, c'est un peu long parfois (pour les vecteurs par exemple!
)