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Base du Q espace vectoriel R
Bonjour,
Dans le cadre d'un exercice, je souhaite savoir s'il est possible de "construire" une base du Q espace vectoriel R. J'y ai beaucoup réfléchi et n'ai pas réussi ... (il ne s'agit pas d'expliciter la base, mais seulement de "montrer" qu'elle existe)
Quelqu'un aurait-il un indice ou une réponse ? Merci d'avance !
[l'exercice en question (que je ne précise que pour les curieux mais qui n'est pas la question ici) est : "soit G un sous groupe stricte de (R,+), montrer que R\G est indénombrable" et je pense avoir la réponse si j'admet l'existence d'une base du Q espace vectoriel R ...]
et voila tout ce que tu peux trouver sur le forum ...
un classique qui ne nécessite pas de parler de Q-base ...
Bonsoir
(il ne s'agit pas d'expliciter la base, mais seulement de "montrer" qu'elle existe)
Si la question est juste de montrer que le Q-espace vectoriel R admet une Q-base, c'est tautologique.
Bonsoir
(il ne s'agit pas d'expliciter la base, mais seulement de "montrer" qu'elle existe)
Si la question est juste de montrer que le Q-espace vectoriel R admet une Q-base, c'est tautologique.
enfin avec mes cours de spé (j'ai intégré mais je suis en formation militaire actuellement
) je n'ai pas démontré que les espaces vectoriels de dimension infinie indénombrable admettent une base. Dans mon cours on démontre l'existence de la base dans le cas de dimension finie, voire dénombrable seulement si je m'en souviens bien ... (cela ne me semble donc pas tautologique) Je pense avoir trouvé, il faut chercher "base de hamel" sur google (ce sont exactement les bases que je recherche). Merci, la prochaine fois je chercherai avec plus de véhémence avant de demander ^^
En prépa effectivement on ne le démontre pas mais on l'admet, vous pouvez l'utiliser (pour la preuve, creusez du côté de l'axiome du choix, ça ne va pas chercher beaucoup plus loin).
Bonjour 
A savoir que G.Hamel est l'auteur de la première démonstration du théorème de la base incomplète, qui n'utilise pas AC dans le cas d'un espace finement engendré et AC (ou Zorn) sinon.
On sait exhiber des familles Q-libres non dénombrables.
Par suite, les Q-bases existent et sont nécessairement non dénombrables (conséquence de la remarque ci-dessus et du fait que toutes les bases d'un ev sur un corps donné ont même cardinal).
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