Bonjour Aerobi,

Ce sujet a été traité y a pas longtemps, plutôt en détail même, par Kaiser.
Je te donne le lien dès que je trouve le topic

H un sous-groupe de Z, il existe n>=0 tel que H=nZ

Ce n'est finalement pas exactement le même sujet : c'est pour un sous groupe de Z, donc tu as le côté aZ, pas le côté dense.
ça peut quand même t'aider pour le début de l'exercice

Pour la 1. :

0 est clairement un minorant de GR+*  donc l'inf existe et il est plus grand ou égal à 0, donc dans R+

(je note alpha=a)
2. Si ]a;2a[ G   alors prenons h appartenant à cet ensemble. Comme G est un groupe (h-a) appartient à G, mais h-a est à la fois positif et plus petit que a, donc a ne serait pas l'inf. Donc Cet ensemble est bien vide.
Seulement si a est l'inf cela signifique que pour tout epsilon, il exsite h dans G tel que ah<a+. Ce h ne peut être que a, d'après ce que l'on vient de montrer. Donc a est dans G. De là le topic dont je t'ai donné l'adresse peut t'aider à montrer que G=aZ

Pour la 3 encore une fois on utilise la caractérisation de la borne inf comme tu l'as marqué pour la question 1. :
>0 gG tq  ag<

Prenons =w, comme a=0 on a l'égalité demandée, sauf qu'il faudrait montrer ga ...
Je cherche.

Hmmm, intuitivement je dirais que comme a=0, a G₊^* donc g0.

En effet ma phrase n'était pas correcte :
>0  gG₊^* tel que ag<a+

Du coup avec =w  et comme g0 tu obtiens l'inégalité demandée

Bonjour.

L'exercice a bien été traité sur le forum : Sous groupes additifs de IR - Valeurs d'adhérence.

Merci beaucoup. Je pose =a

2) Voila une démonstration reprise d'un post mais il y a trois points que j'ai signalé que je ne comprends pas. Par l'absurde on va supposer que aG: . Puisque 2a>a donc 2a n'est pas un minorant de . Il existe alors y de G tel que a<y<2a.
De la même façon, on a x>a, donc x n'est pas un minorant de . Il existe alors x de G tel que a<x<y<2a.

On a alors:  y-x et y-x<a  contradictoire avec a borne inférieure.
On conclut que aG.

Puisque G est un sous-groupe additif de R
donc pour tout n entier relatif naG (stabilité par +) d'où: aZG

Montrons la deuxième inclusion:

Soit xG et n=E(x/a). On a bien sûr: nax<(n+1)a  ce qui implique: x-naG (cette implication je ne la comprends pas)
Dans le cas où: xna (là aussi je ne comprends pas pourquoi on traite ce cas là) , on a: x-na (cette implication je ne la comprends pas) et x-naa ce qui contredit que m est la borne inférieure.
Ce qui nous permet de conclure que: GaZ. Donc: G=aZ



Suite des questions:

3)b- g étant fixé montrer qu'il existe n dans Z tel que u<ng<v.
là pas de souci

  c-En déduire que G est dense dans R
Là je ne sais pas comment m'y prendre. Dans un des sujets que vous m'avez conseillé ils mettent que : d'après la question précédente on a ngG donc G dense dans R... Mais je ne comprends pas trop...

4)Application: f est une fonction numérique définie sur R, périodique, c-a-d qu'il existe un réel strictement positif T tel que pour tout x de R f(x+T)=f(x). On appelle alors période de f tout réel non nul p vérifiant: xR, f(x+p)=f(x) et on note P={pR, p période de f}{0}.
a- Montrer que P est un sous groupe additif de R.
*0P
*P stable par +
*P stable par passage au symétrique.
Est ce que cela suffit?

b-Donner un exemple de fonction pour laquelle P est de la forme aZ et un exemple pour lequel P est dense dans R.
Là je n'ai aucune idée de la démarche à entreprendre

Bonjour Aerobi,

Si x appartient à G, comme a appartient à G na aussi, donc x-na aussi (sous groupe).
Si jamais x=na  x-na=0 et donc on ne peut plus dire que x-na appartient à R+*.
En fait la première inégalité donne 0x-na.
On traite donc les cas 0<x-na et 0=x-na.
On montre que 0<x-na n'est pas possible  (on avait nax<(n+1)a => 0x-na<a)
Donc x=na et donc tout x s'écrit comme un multiple de a, c'est ce qu'on voulait montrer.

3c : définition de dense : pour tout ]u;v[ il existe gG dans ]u;v[
C'est bien ce que l'on montre ici, puisque ngG

C'est bon ?

Bonjour Noflah!

Oui c'est bien, c'est très clair! Merci beaucoup vraiment...

Quand on montre par l'absurde à la 2) que ]a,2a[G= on suppose que aG pour dire que h-aG?

Oula parfaitement ! C'est une grosse erreur de ma part !! Merci de la signaler ! J'ai supposer le résultat pour le montrer, ça la fout mal.
Oublie cette mauvaise démo et retient celle de l'autre topic. Merci Aerobi

L'esprit y était mais la démonstration juste (celle que tu proposes) est un peu différente.

Si cet ensemble n'est pas vide il y existe y (a<y<2a).
Mais comme pour tout epsilon  a<x<a+epsilon  en prenant epsilon = (y-a)/2 ce x doit exister, on a donc : a<x<y<2a
Et alors y-x appartient à G (parce que cette fois les deux appartiennent bien à G !) et y-x<a -> impossible.
Donc cet ensemble est vide.