Bonjour
l'image est engendrée par les images des vecteurs d'une base de l'espace de départ ....
tu calcules ces images, et tu échelonnes la famille obtenue

La matrice que je trouve est :

1 0 0 0
0 1 0 i-1
0 0 1 1+I

En admettant que ce soit la bonne, comment lire la base ?
C'est ((1,0,0,0),(0,1,0,i-1),(0,0,1,1+i)) ?

salut

h(x, y, z, t) = (x - iy + (1 + i)t, 2x - y + iz, y + z + 2it) = x(1, 2, 0) + y(-i, -1, 1) + z(0, i, 1) + t(1 + i, 0, 2i)

il suffit d'échelonner la matrice :

1   -i   0   1 + i
2   -1   i      0
0   1   1     2i

...

Oui et en l'échelonnant je trouve la matrice que j'ai écrite.

donc les trois premières colonnes forment trois vecteurs indépendants ...

D'accord...
Pourquoi regarder les colonnes et pas les lignes par exemple? ...

parce que les vecteurs colonnes sont les images des vecteurs de la base ...

D'accord et pourquoi dans le cas des Vect on lit en ligne ?

J'enchaine directement avec la question suivante de l'exercice, concernant le fer de h.
On a sa dimension grâce au théorème du rang, mais j'ai essayé de trouver une base avec un système d'équations mais je n'arrive pas à trouver le vecteur qui fonctionne.

Je vais t'illustrer ça avec un exemple, laisse moi quelques minutes

Soit V=Vect((1,2,3,0,1), (0,3,4,0,1),(3,0,0,1,2),(-1,1,1,0,0))

On pose la matrice :  1 2 3 0 1
                                               0 3 4 0 1
                                               3 0 0 1 2
                                              -1 1 1 0 0
(on les place en ligne, c'est dans mon cours)

Ensuite on échelonne la matrice :  1 2 3 0 1
                                                                            0 3 4 0 1
                                                                            0 0 -1 1 1
                                                                            0 0 0 0 0
On lit les lignes et on en déduit qu'une base de V est formée par les 3 premières lignes.

Plus personne ?

Pour ce V tu as placé les vecteurs dans les lignes de la matrice donc effectivement V est le sev engendré par les lignes non nulles de la matrice échelonnée selon les lignes.

Mais pour une application linéaire, son image est le sev engendré par les colonnes (c'est la définition) de sa matrice dans des bases (de départ et arrivée) choisies donc il faut échelonner selon les colonnes, surtout quand les ev de départ et d'arrivée ne sont pas les mêmes comme c'est le cas ici.

Pour l'autre question, c'est ker(h) pas fer(h): il faut résoudre h(u)=0.  Mais tu as déjà échelonner la matrice de h alors tu l'utilises directement.  C'est facile, à supposer qu'elle est correcte, elle donne les équations:

x = 0
y + (i-1) = 0
z + (1+i) = 0
et puis on peut ajouter l'équation t=t si on veut (pour faire plus clair) ca peut se réécrire sur une ligne.  Je te laisse terminer.

Merci pour ta réponse,

Qu'entends tu par "sev" ?
Oui c'est le ker, mais mon correcteur a préféré fer.

Du coup on aurait {(0,1-i,-(1+i), t)} comme ker. Ce qui pourrait se décomposer en 2 vecteurs non ? {(0,1-i,-(1+i),0), (0,0,0,t)}

Mais on aurait une dimension 2, ce qui est faux je crois.

J'ai oublié la variable t:
x = 0
y + (i-1)t = 0
z + (1+i)t = 0

alors (x,y,z,t) = t(0, 1-i, -1-i,  1),  et le noyau est de dimension 1.

(s)ev = (sous-)espace vectoriel.