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Binôme de Newton et sommes

Posté par XMika (invité) 09-09-05 à 18:12

Bonjour j'aurais besoin d'aide pour les trois questions suivantes :


1/Démontrer que : n\in \mathbb{N}*, \(2n\\n\) \ge \frac~{4^n}{2\sqrt{n}}  

\(2n\\n\) = \frac{(2n)!}{n!\times (2n-n)!}
J'ai essayé de ramener cette fraction à la formule de \(2n+2\\n+1\) afin de comparer l'autre membre obtenu après multiplication : \frac {4^n+1}{2\sqrt{n+1}} et vice versa, mais sans succès.


2/Soit n \in \mathbb{N}, n \ge 3 :
[b]Calculer :  S=\Bigsum_{k=1}^{n}~ln(\frac{k+3}{2k}) Donner le résultat sous la forme : S=ln(a)[/b]

J'ai séparé les deux sommes en utilisant la proptiété du ln et celle de la somme, il y a sûrement un changement d'indice à faire, j'ai réussi à la calculer mais je ne trouve pas le résultat sous la forme S=ln(a)


3/ \forall {p}, n \in \mathbb{N}^2. Démontrer que : \Bigsum_{k=0}^{n}(-1)^k \(n\\k\) \frac{1}{p+k+1} = \Bigint_0^{1} x^p (1-x)^n dx

J'ai essayé de partir d'un côté comme de l'autre : au bout de 3 intégrations par partie j'ai essayé de transformer la somme mais là encore, aucun résultat probant. Quant à une eventuelle récurrence...

Posté par
dad97 Correcteurre : Binôme de Newton et sommes 09-09-05 à 18:51

Bonsoir,

2) 3$\rm S=\Bigsum_{k=1}^{k=n} (ln(k+3)-ln(2)-ln(k))

3$\rm = -nln(2) + \Bigsum_{k=4}^{k=n+3} ln(k)-\Bigsum_{k=1}^{k=n} ln(k)

3$\rm =-nln(2)+ln(n+3)+ln(n+2)+ln(n+1)-ln(1)-ln(2)-ln(3)

3$\rm = ln(\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3\times 2^{n+1}})

3)

3$\rm \Bigint_0^1 x^p(1-x)^ndx=\Bigint_0^1x^p(\Bigsum_{k=1}^{k=n}C_n^k (-1)^kx^k)dx

3$\rm =\Bigsum_{k=1}^{k=n}(\Bigint_0^1C_n^k(-1)^k x^{k+p}dx

3$\rm = \Bigsum_{k=1}^{k=n}[C_n^k(-1)^k \frac{x^{k+p+1}}{k+p+1}]_0^1

3$\rm =\Bigsum_{k=1}^{k=n}[C_n^k\frac{(-1)^k}{k+p+1}]_0^1

Salut


Posté par XMika (invité)re : Binôme de Newton et sommes 09-09-05 à 19:30

J'ai bien compris le 2/, d'ailleurs j'ai honte de ne pas avoir trouver tout seul tellement c'était simple !!

Quant au 3/ ,quand tu (je me permet de tutoyer) écris  \(k\\n\) est-ce que c'est une erreur et que tu voulais mettre \(n\\k\) ou alors c'est voulu et je n'ai pas trop compris...
Sinon normalement la puissance de 1 augmente quand celle de x décroît or la ils sont tous deux à la puissance k
Enfin le signe "-" qui est sur le 1 alors qu'il s'agissait de x-1 à la base

Je me doute que ce que tu as écrit est bon mais je ne vois pas comment tu as fait ...

Posté par
piepalmre : Binôme de Newton et sommes 09-09-05 à 19:36

Pour le 1) il faut effectivement établir ça par récurrence: le rapport du terme N+1 au terme n vaut (2n+1)(2n+2)/n^2=4*(1+1/2n)(1+1/n)
reste à montrer que Vn/((1+1/2n)(1+1/n))  <V(n+1)
donc que n<(n+1)(1+1/2n)^2(1+1/n)^2
ce qui est exact si je ne me suis pas trompé en calculant directement à l'écran!

Posté par XMika (invité)re : Binôme de Newton et sommes 09-09-05 à 20:05

Non le rapport n+1/n vaut \frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)(n+1)}
De plus d'où vient le Vn ...

Posté par
dad97 Correcteurre : Binôme de Newton et sommes 09-09-05 à 20:06

Re,

Notation : C_n^k=\(n\\k\)

oui il ya cafouillage dans le 3) j'ai omis de commencer les indices k à 0 pour :

(1-x)^n=(-1)^n(x-1)^n=(-1)^n\Bigsum_{k=0}^{k=n}C_n^k x^k(-1)^{n-k}=\Bigsum_{k=0}^{k=n}C_n^k x^k(-1)^{2n-k}

or (-1)^{2n-k}=(-1)^{-k}=(-1)^k

d'où (1-x)^n=\Bigsum_{k=0}^{k=n}C_n^k (-1)^kx^k
et on reprend la démo

Salut

Posté par XMika (invité)re : Binôme de Newton et sommes 09-09-05 à 21:58

Merci là c'est bon c'est clair
Je vais essayer de chercher pour le 1/ mais si quelqu'un se sent charitable en ce week end de septembre !!
Merci beaucoup et (pour le 1/) merci d'avance :D

Posté par
piepalmre : Binôme de Newton et sommes 09-09-05 à 22:58

Désolé, mais ce n'est pas facile de calculer directement à l'écran, j'ai mis n à la place de n+1, mais le calcul reste le même...
Donc le rapport des termes de rang n+1 et n est (2n+1)(2n+2)/(n+1)^2=4(2n+1)/(2n+2))
En notant V la racine carrée, il faut prouver que
Vn(2n+2)/(2n+1)<V(n+1)
soit n(2n+2)^2<(n+1)(2n+1)^2
ou encore 4n^3+8n^2+4n<4n^3+8n^2+5n+1 ce qui est vrai!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Binôme de Newton et sommes 09-09-05 à 23:02

Bonsoir;
notons u_n=C_{2n}^{n} on u_0=1 et
\forall k>0\\ \frac{u_{k}}{u_{k-1}}=4(1-\frac{1}{2k}) en faisant le produit pour k=1..n on a que u_n=4^{n}\Bigprod_{k=1}^{n}(1-\frac{1}{2k})
il suffit maintenant de montrer que \Bigprod_{k=1}^{n}(1-\frac{1}{2k})\ge\frac{1}{2sqrt{n}}
c'est vrai pour n=1
\Bigprod_{k=1}^{n+1}(1-\frac{1}{2k})=(\Bigprod_{k=1}^{n}(1-\frac{1}{2k}))(1-\frac{1}{2n+2})\ge\frac{1}{2sqrt{n}}(1-\frac{1}{2n+2})=\frac{2n+1}{4(n+1)sqrt{n}}\ge\frac{1}{2sqrt{n+1}} puisque 2n+1\ge2\sqrt{n^2+n}

Posté par XMika (invité)re : Binôme de Newton et sommes 10-09-05 à 19:12

Merci pour votre aide.

Posté par XMika (invité)re : Binôme de Newton et sommes 10-09-05 à 19:12

Merci pour votre aide.

Posté par caroline74 (invité)Demonstation par récurrence suite géométrique 17-09-06 à 18:43

pour mon DM, il ne me reste que ces 2 pts qui me posent Pb. merci de m'aider.
soit la suite Un définie ,ds IN* par son premier terme U1 et la relation de récurrence Un+1=Un+6/Un+2 pour tout n appartenant à IN *
1)démontrer que si U1 différent de b, alors pour tout n appartenant à IN étoile , on a Un différent de b et ds ces conditions calculer Un+1-a/un+1-b en fonction de Un-a/Un-b;
2) en déduire que la suite Vn= Un-a/Un-b est géométrique et préciser alors Vn en fonction de n et de U1.
Ds les questions précédentes ,j'ai trouvé a=-3 et b=2.
merci de votre réponse

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Binôme de Newton et sommes 18-09-06 à 13:27

Pour information, autre démonstration de la récurrence ici :
https://www.ilemaths.net/sujet-demonstration-par-reccurence-88667.html


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