Bonsoir mcmaxyt.
Si on suppose connu le théorème de Bolzano-Weierstrass réel, alors le cas complexe ne pose aucune difficulté.
En effet, toute suite complexe est en réalité la donnée de deux suites réelles.

Si est une suite complexe bornée, alors les deux suites réelles et le sont.

On commence donc par extraire une sous-suite convergente de la suite , mais rien ne garantit que la sous-suite soit convergente. (c'est ce qui motive la seconde extraction)

En revanche, la sous-suite est bornée et on réapplique BW à cette sous-suite dont on extrait une sous-sous-suite qui soit convergente.

Du coup, la sous-sous-suite , qui est une suite extraite d'une suite convergente est encore convergente, et vers la même limite.

Conclusion la sous-suite est convergente.

La composition entre phi et psi est dans l'autre sens, si tu veux extraire une sous-suite de a qui se comporte comme a.phi

Mervi de votre réponse, mais je ne comprends pas poirquoi la premiere suite extraite de Im(u(n)) n'est pas convergente et pourquoi la seconde le serait plis.

J'ai dans mon cours une propriete qui dit que si un une suite complexe et bornee alors Re(un) et Im(un) sont bornees.
Je pensais alors pouvoir appliquerBolzano Weierstrass sur ces deux suite bornees poir montrer qu'elles admettent une sous suite convegente

Merci de vos reponses

Je pense avoir compris. Dites moi si je me trompe mais l'extraction phi tel que a(phi(n)) converge n'est peut etre pas celle qui fait converger b(phi(n))
Comme b(phi(n)) est bornee, on peit realiser une deuxieme extraction sur b qui convergera.
Une autre extraction sur a(phi(n) tend vers la meme limite de a(phi(n)

Est-ce cela ?

Comme tu es en "première" il est difficile de t'aider sur ce sujet !
Mais en "grandissant" tu pourras essayer et les parties réelles et imaginaires de