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C^1 difféomorphisme / homéomorphisme
Bonsoir,
dans une proposition de mon cours, on montre la chose suivante :
Soient des ouverts des espaces normés
.
On considère une application bijective et différentiable en un point
de
.
est différentiable en
ssi
et
continue en
.
Mon prof dit que l'on a un corrolaire immédiat de cette proposition :
Soit est un homéomorphisme de classe
.
est un difféomorphisme de classe
ssi quelque soit
dans
,
.
Déjà, un homéomorphisme de classe , c'est quand même ambigu non ? N'est-ce pas un difféomorphisme de classe
aussi ??
Salut Night',
on dit que est un homéomorphisme de classe
ssi
est une bijection continue de classe
dont l'inverse est aussi continue de classe
, non ?
Eh bien non 
(au passage, cela ne sert à rien de préciser continue lorsque tu ajoutes derrière "de classe C1" 
)
Bon j'ai du mal avec les définitions!
est un homéomorphisme de classe
ssi
est une bijection de classe
dont l'inverse est aussi continue.
Oui, mais rien n'assure que l'inverse soit elle même de classe C1. Justement, le corollaire donne une condition nécessaire et suffisante pour que ce soit le cas.
A propos, un -difféomorphisme c'est une application bijective de classe
dont l'inverse est différentiable, c'est bien ça ?
Pour montrer le corollaire, c'est plus simple qu'il n'y parait, ou je me trompe ?
On se donne .
Puisque est continue en
, on a :
différentiable en
(par la proposition).
f est un
-difféomorphisme.
Mais je ne comprends pas alors!
Peut-tu me donner la définition d'un -homéomorphisme et d'un
-difféomorphisme, stp?
La seule différence réside dans la classe de la réciproque :
Un Ck-homéomorphisme est une application bijective de classe Ck dont la bijection réciproque est seulement continue.
Un Ck-difféomorphisme est un Ck-homéomorphisme dont l'application réciproque est de classe Ck.
Ah, d'accord!
Donc ici, j'ai pas finis dans ma démonstration. Car je n'ai pas montré que est
. J'ai seulement montré que
était différentiable.
C'est bien ça ?
Euh... puisque est différentiable, on sait l'existence d'une application linéaire continue
:
est bien une application de classe
.
Je pars de (quelque soit dans
,
) et je raisonne par équivalence pour arriver à (
est un difféomorphisme de classe
).
Je dois donc montrer, dans mon raisonnement par récurrence, que est bijective de classe
dont l'inverse est aussi
.
On a déjà que est de classe
compte tenu de ce que
existe et est linéaire continue. La proposition nous donne que
est différentiable, ce qui signifie qu'il existe une application linéaire continue
et donc
est aussi de classe
.
Ce raisonnement est-il correct ?
Bonjour,
C'est un peu malsain de parler de Ck-homéomorphisme...moi je dirait plutot homéomorphisme de classe Ck.
Tiens en voila d'ailleurs un exemple x->x3 est un homéo de R sur R, de classe Ck...Ce n'est pas un difféo de R sur R.
Ensuite je comprends pas trop...une condition nécessaire et suffisant pour que f soit un difféomorphisme local c'est que df(x) soit inversible...c'est l'inversion locale, on a pas besoin de s'assurer de la continuité de la réciproque...
Bon enfin admettons...
Ton raisonnement est faux....ce n'est pas parce que df(x) est continue (ce qui est toujours le cas) que df l'est aussi...Ici ca marche parce que l'inversion de matrice est continue (sur GL) et donc x->df^{-1}(x) est continue comme composé d'application continues.
Bonsoir Rodrigo.
Je ne vois toujours pas le lien entre ma proposition et mon corollaire.
Peux-tu m'éclaircir pour une preuve rigoureuse ?
Je pars de ceci :
Quelque soit dans
,
.
Puisque dans les hypothèses, on a un que est un homéomorphisme de classe
, on sait que
est continue en
.
Donc je dis que l'on a : quelque soit dans
,
et
est continue en
.
Ceci est équivalent, par la proposition, à est différentiable en
.
Ici, je dis qu'il ne reste plus qu'a montrer que est continue. Pour ce faire, je considère l'application continue
de
dans
, qui a
associe
.
On remarque que l'on a . L'application
est donc continue comme composée des applications
et
.
Ceci achève la démonstration.
Est-ce ok ?
Bonjour
C'est trop compliqué. Le théorème d'inversion locale dit que si Df(x) est un isomorphisme il y a un voisinage de x tel que la retriction de f à ce voisinage soit une bijection etc, etc... Bien sur ceci n'est intéressant que si f n'est pas bijective. Mais si tu démarres avec un homéomorphisme, tu sais déjà que c'est bijectif, que la réciproque est continue, et l'hypothèse sur Df(x) assure que ladite réciproque (qui est unique) est de classe C1.
Absolument! le corollaire ne fait que préciser que si on sait déjà que f est un homéomorphisme et que les Df(x) sont inversibles c'est garanti que f-1 est différentiable est de classe C1
Ok, je vois mieux.
En fait mon souci, c'était de savoir qu'un homéomorphisme, c'est une application bijective de classe
dont la réciproque est seulement continue, et non
C'est essentiellement une question de définition. Mais Rodrigo a raison; on n'a pas l'habitude de parler de C1 homéomorphisme!
Ceci étant dit il te donne un exemple d'homéomorphisme de classe C1 dont la réciproque n'est pas différentiable.
Je me permet de remonter :
Bon, supposons que quelque soit dans
,
. Comme par hypothèse,
est un homéomorphisme de classe
, on peut appliquer le théorème d'inversion local.
Et la je précise : il existe un voisinage ouvert et un voisinage ouvert
tel que
soit un difféomorphisme de
sur
.
Le petit souci dont je m'aperçois maintenant, c'est qu'on voulait que soit un difféomorphisme de
sur
si je ne me trompe pas !
Le second souci, c'est que ce corolaire figure bien avant la démonstration du théorème d'inversion local ! Donc, à priori, on n'est pas censé l'utiliser !
(PS: petite question, dès qu'on a une application dont la différentielle est inversible, on peut appliquer le T.I.L, c'est bien ça?)
Sans inversion locale je ne sais pas! Mais avec:
Soit un homéomorphisme de classe C1 tel que Df(x) soit un iso pour tout x.
Le théorème d'inversion locale, dit bien ce que tu as écrit. Je prends x et je trouve Ux et Vf(x) tels que tu les décris. Mais f est bijective, donc
et le second membre, est différentiable au point x.
La question du PS: OUI!
Bonjour Camélia!
Ce que je voulais dire par la, c'est qu'on par d'une application qui va de dans
. On montre que cette application est un difféomorphisme mais pas vraiment! En fait, on montre que c'est un difféomorphisme de
sur son image.
Le corollaire est plus précis en disant qu'il existe un ouvert tel que soit un difféomorphisme de cet ouvert sur son image si et seulement si etc.
Ai-je bien compris ?
Non, dans le théorème général un montre seulement que f est un difféomorphisme local. S'il a le bon gout d'être vraiment injectif, c'est en prime et ce sera un difféo sur l'image!
Essaye de bien comprendre ce que ça veut dire en explicitant les voisinages pour
Bonjour...
Camelia...tu espere vraiment trouver un diffeomorphisme meme local d'une variete de dimension 1 dans une variete de dimension 2?
Essaie avec l'exponentielle complexe (qui est l'exemple donne par camelia) en identifiant C et R^2
Aïe!!
En revanche, je tiens à ce qu'on la regarde comme de R2 dans lui-même sans référence aux complexes. Pédagogiquement, si on fait apparaitre la dérivée complexe on embrouille tout!
La pedagogie...malheureusement j'ai bien peur que ce ne soit pas mon fort... Pour la petit histoire je fait du tutorat a l'X et les elves ne savaient pas bien ce qu'etait un homeomorphisme, j'ai fait beaucoup rire un de mes amis quand je lui ai dit que pour leur expliquer ce que c'etait je leur avait parle de categories
Eh bien, moi je ne m'y oppose pas... (surtout à l'X) Un bon exemple est de fabriquer un ensemble ordonné (3 éléments suffisent) et une bijection strictement croissante vers un ensemble totalement ordonné; la réciproque n'est pas croisante donc pas de la bonne espèce (je ne disais quand même pas que ce n'est pas un iso dans la catrégorie des ensembles ordonnés)! Ensuite je passais aux homéomorphismes, puis aux difféomorphismes...
> H_aldnoer J'espère que tu ne nous en veux pas, pour le "chat"!
Bon, j'ai rien compris, c'est l'embrouille total la! C'est quoi le théorème général? J'essaye de comprendre un corollaire!
Le théorème général est le théorème d'inversion locale.
Le corollaire parle d'une fonction qui vérifie les hypothéses de celui-ci et qui en plus est un homéomorphisme
Je vais être plus précis.
On prend par hypothèse une application qui est un homéomorphisme de classe
.
On veut montrer la chose suivante.
est un difféomorphisme de classe
ssi quelque soit
dans
,
.
On ne dit pas que c'est un difféomorphisme "de quel espace dans quel espace".
Est-ce que c'est un difféomorphisme de dans
, les mêmes que ceux de l'hypothèse ?
Ou bien est-ce que c'est un difféomorphisme d'un autre ensemble sur un autre ensemble ?
Je ne sais pas si c'est plus clair comme question.
Non mais c'est pas ça le problème Rodrigo.
On suppose que est un homéomorphisme de classe
de
dans
.
Est-ce que le corollaire permet d'affirmer que est un difféo de
sur
, mais vraiment les mêmes ?
Ben alors j'ai pas compris la démonstration :/
Car avec le Th. d'inversion local on obtiens un difféo de sur
!
Je vois pas pourquoi et
.
Le theoreme d'inversion locale t'assure que f^{-1} est differentiable en tout point.
Tu a donc une application f:U->V bijective differentiable de recirpoque differentiable, c'est un diffeomorphisme.
Euh, voici l'énoncé de mon théorème.
deux Banach.
une application de
un ouvert de
dans
différentiable. On suppose
continue en
et
.
Alors il existe un voisinage ouvert de
et un voisinage ouvert
de
tel que
soit un difféo de
sur
.
Pour moi, est différentiable seulement sur
!
Oui enfin f^{-1} n'est definie que sur V, donc bien sur on ne regarde que ce qui se passe sur V...quand je dis en tout point c'est bien sur en tout point de V.
L'hypothese Df continue en x0 est superflue
Bon ca m'arrange pas alors...
Lorsqu'on applique le thm. d'inversion local, on a bien existence de deux voisinages et
tel que etc etc ...
Pourquoi ces deux voisinages sont les mêmes que ceux de l'application de départ ? (ie que et
)
C'est bien ce que j'ai écris dans mon précédent post : pourquoi et
.
Ben a prioiri ils sont pas egaus mais tu t'en fout...On a montre que f etait un diffeo global de U sur V
Tout à l'heure je t'avais demandé s'ils étaient égaux, tu ma dis oui!!
C'est quoi un difféo global ?
Pour moi, on a montré que était un difféomorphisme de
sur
.
Ben ils sont pas egaux a priori mauisd comme ici f est un diffeomorphisme de U sur V on peut prendre Ux=U
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