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C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe?

Posté par
Eric_ 16-01-08 à 14:29

Salut

Je viens de savoir que la fonction Cos est definie sur l'ensemble \mathbb{C}
Alors c'est quoi le cosinus d'un nombre complexe? Comment est-elle définie?
Les équations cos z=a, z\in\mathbb{C} \hspace{10} a\in]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[ ont-elles des solutions?
Par exemple: cos z=3
Comment la résoudre?

Merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 16-01-08 à 14:33

Bonjour

Le cos d'un nombre complexe ou le sin, ou le Ch, ou le Sh c'est tout simplement la généralisation à C des formules du type Euler. Ainsi

\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}

Alors, par exemple cos(z)=3 devient e^{2iz}-6e^{iz}+1=0 que tu sais certainement résoudre...

Posté par
romure : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 16-01-08 à 14:39

Salut, je crois que


|\cos(z)|= \frac{|e^{iz}+e^{-iz}|}{2} \leq \frac{|e^{iz}|}{2}+\frac{|e^{-iz}|}{2} \leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1

Posté par
romure : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 16-01-08 à 14:39

Bonjour Camélia

Posté par
Camélia Correcteurre : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 16-01-08 à 14:41

Rebonjour romu NON! la fonction cosinus est surjective sur C.

Posté par
romure : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 16-01-08 à 14:47

Je ne comprends pas, pourtant l'image de l'exponentielle complexe est bien le cercle unité, non? Et vu la formule d'Euler, j'aurai pensé qu'on peut majorer, je ne vois pas ce qui cloche?

Posté par
romure : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 16-01-08 à 14:58

ah je crois que je viens de comprendre, si z=a+ib,

on a |\exp(z)| = |\exp(a+ib)| = |\exp(a)||\exp(ib)| = |\exp(a)| et ça peut être plus grand que 1, ça marche pas comme \theta\rightarrow e^{i\theta}, \ \theta\in \mathbb{R}? c'est ça?

Posté par
Camélia Correcteurre : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 16-01-08 à 15:04

Oui, romu. Il s'agit d'exponentielle complexe. Bien sûr, rien n'a changé, si t est réel on continue à avoir |cos(t)|1. Ca n'empêche pas l'existence de z complexe tel que cos(z)=3. D'ailleurs, tu peux facilement vérifier que pour t réel cos(it)=Ch(t), donc il y a des valeurs >1.

Posté par
romure : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 16-01-08 à 15:13

d'accord, merci Camélia.

Posté par
Eric_re : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 16-01-08 à 15:39

Merci beaucoup
On peut toujours utiliser les identités triangulaires avec les nombres complexes? Par exemple
cos(z+z')=cos(z)cos(z')-sin(z)sin(z')

Citation :
que tu sais certainement résoudre

Désolé, mais aucune idée !

Posté par
Camélia Correcteurre : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 16-01-08 à 15:41

Pour l'équation précédente: pose X=eiz. Tu récupères une équation du second degré... que tu sais certainement résoudre!

Les formules d'addition, d'angle double et tout ça reste vrai...

Posté par
Eric_re : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 16-01-08 à 16:12

Citation :
Les formules d'addition, d'angle double et tout ça reste vrai

On peut les démontrer?
Et quelle est l'interprétation géométrique de cos(z) ?

Posté par
Camélia Correcteurre : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 16-01-08 à 16:15

Oui, on peut les démontrer à partir des formules de définition, qui sont vraies pour la variable réelle, et tout aussi vraies pour la variable complexe. Je ne connais pas d'interprétation géométrique de cos(z) ni des autres dans le plan... Ce sont néanmoins des fonctions très importantes en théorie des fonctions analytiques...

Posté par
Eric_re : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 16-01-08 à 16:42

D'accord
Pour la formule d'Euler, on connait déja que:
e^iz=cos(z)+i sin(z)
cos(z)=Re(e^iz) \hspace{10} sin(z)=Im(e^iz)
Pour les z\in\mathbb{R}
Mais quand z\in\mathbb{C}, C'est quoi la partie réele? imaginaire?

Posté par
Eric_re : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 16-01-08 à 16:44

Désolé pour les typos
C'est e^{iz} pas e^iz

Posté par
Pecere : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 16-01-08 à 19:50

Soit z=a+ib (a et b réels)
Alors e^{iz}=e^{a+ib}=e^{a}e^{ib} donc Re(e^{iz})=e^a cos(b) et Im(e^{iz})=e^a sin(b)

Sinon un représentation géométrique de cos définit sur \mathbb{C} peut se faire d'un plan sur une droite (puisque l'on a cos:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{R}), mais bon c'est assez limitée et je pense pas que ça présente grand intérêt.

Posté par
Arkhnorre : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 16-01-08 à 20:14

Bonjour.

Pour le cos par exemple :

cos(z) = {e^(iz) + e^(-iz)}{2}

c'est ainsi que tu calcule le cosinus d'un nombre complexe.

Posté par
Arkhnorre : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 16-01-08 à 20:15

Oups ...
cos(z) = \frac{e^(iz) + e^(iz)}{2}

Posté par
Pecere : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 16-01-08 à 21:02

Arkhnor, ceci a déjà été dit.

(Et c'est encore mal écrit, tu as juste la parenthèse en exposant ^^ )

Posté par
Ksilverre : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 16-01-08 à 22:24

"C'est quoi la partie réele? imaginaire?" >>> la en revanche tu va dans la mauvais direction, ca donnera rien ^^^

c'est les formules d'euler qu'il faut utiliser. ceci dit on a toujour  exp(z)=cos(z)+i.sin(z), mais cos(z) et sin(z) etant complexe on ne peut rien obtenir en passant au parti réel et imaginaire...


De faocn géneral, toute les égalité entre fonction analytique qui sont vrai dans R ce conserve dans C. par fonction analytique on etant "dévelopable en série entière", concretement c'est toute les fonction "de z" (ie qui ne font pas intervenir x,y ou |z| séparement). donc tous ce qui est cos²+sin²=1, cos(2z) =..., cos(a+b), exp(z)=cos(z)+isin(z) etc, etc...


Peace, cos n'est pas valeur dans R ! cos est surjective sur C. (essentilement, toute les fonction analytique sont surjective sur C, ou au moins prennent toute les valeur complexe sauf peut-etre une, c'est le cas de l'exponentiel qui ne s'anule pas, mais dans tous les cas, aucune n'est borné ou à valeur dans R ou quoi que ce soit de ce genre), donc pas de cos(z)<1, ou de cos(z) apprtiens a R, tous cela est totalement faux pour z dans C.

Posté par
garnouillere : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 01-11-19 à 03:07

Bonjour

Pour montrer que le cosinus d'un nbre complexe est une fct surjective sur , la démonstration suivante est-elle correcte ?

on veut montrer que tout nombre Z admet un antécédent par la fct "cos", on montre donc que l'équation cos(x)=Z admet au moins une solution :
\\ \\ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=Z \\ \\ (e^{iz})^{2}-2Ze^{iz}+1=0 \\

Toute équation de degré 2 à coefficients complexes admet 2 solutions complexes conjuguées, ici l'inconnue est le complexe e^{iz} donc il existe au moins un complexe tel que e^{iz}=.

Ensuite, on pose z=x+iy et on résout l'équation d'inconnues réelles x et y :

e^{i(x+iy)}=x_{1}+iy_{1} \\ \\ (cos(x)+isin(x))[tex]e^{-y}=x_{1}+iy_{1} \\ \\ cos(x)e^{-y}=x_{1}  et  sin(x)e^{-y}=y_{1}   \\ \\ e^{-y}=\frac{x_1}{cos(x)} , tan(x)=\frac{y_1}{x_1} \\ \\ x=Arctan(x)+k \pi, y=ln(\left|\frac{cos(x)}{x_1} \right|) \\

l'équation  cos(x)=Z admet au moins une solution dans donc la fct cosinus d'un nbre complexe est surjective

Y a-t-il plus rapide ?
merci pour votre aide

Posté par
ThierryPomare : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 01-11-19 à 17:40

Bonsoir,

Citation :
Toute équation de degré 2 à coefficients complexes admet 2 solutions complexes conjuguées (...)


Tu en es certain ? Que penser de cette équation du second degré à coefficients complexes : z^2-3\,iz-2=0 ?

Posté par
garnouillere : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 01-11-19 à 18:08

effectivement, ça ne fonctionne pas, l'équation que tu m'as suggérée admet pour solutions 2i et i qui ne sont pas conjuguées donc je corrige :

Citation :
toute équation de degré 2 à coef complexes admet deux solutions dans


cours vérifié ici :


ça ne change pas mon raisonnement, est-il correct ?

Posté par
garnouillecosinus d'un nbre complexe 01-11-19 à 20:04

Énoncé :
On définit le cosinus d'un nbre complexe :   cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}
cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}

1) résoudre l'équation   e^{iz}=1

en posant z=x+iy, je trouve x=2k et y=0 donc z=2k avec k entier relatif

2)  résoudre l'équation   cos(z)=1



*** message déplacé ***

Posté par
Ulmierere : cosinus d'un nbre complexe 01-11-19 à 20:10

Pose Z = e^{iz} et résous \frac{Z+\frac1Z}2 = 1. C'est polynomial à coeffs réels, tu sais faire.
Ensuite, tu seras ramené à la question 1), à multiplication près

*** message déplacé ***

Posté par
Ulmierere : cosinus d'un nbre complexe 01-11-19 à 20:11

Même pas besoin de multiplier d'ailleurs

*** message déplacé ***

Posté par
garnouillere : cosinus d'un nbre complexe 01-11-19 à 20:19

oups, j'ai "envoyé" au lieu de faire un apercu !

2)  résoudre l'équation   cos(z)=1

\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=1

après calculs :  (e^{iz}-1)^{2}=0
on retrouve l'équation précédente et donc les même solutions

3) montrer que la fonction cosinus d'un nbre complexe est surjective sur

on résout l'équation    cos(z)=Z d'inconnue Z

j'arrive à (e^{iz})^{2}-2Ze^{iz}+1=0
équation de degré 2 d'inconnue eiz qui est un nbre complexe

puis-je dire : toute équation de degré deux admet deux solutions dans donc il existe au une solution  Z0 de et on cherche z tel  que [tex]e^{iz}=Z_0. Cette équation admet une solution donc l'équation de départ admet au monis une solution donc  la fonction cosinus d'un nbre complexe est surjective sur

*** message déplacé ***

Posté par
Ulmierere : cosinus d'un nbre complexe 01-11-19 à 20:30

Oui c'est correct

*** message déplacé ***

Posté par
garnouillere : cosinus d'un nbre complexe 01-11-19 à 20:34

4) soit z0 une solution de l'équation cos(z)=Z, exprimer toutes les solutions en fonction de z0

   cos(z)=Z \\ \\ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=Z \\
après calculs : (e^{iz})^{2}-2Ze^{iz}+1=0

=4Z2-4, on pose 2=

on a alors eiz=(2Z+)/2  ou   eiz=(2Z-)/2

après, je trouve des solutions compliquées définies à k près pour x qui est un "arctan(...)" mais je ne trouve pas le lien entre les deux familles de solutions

*** message déplacé ***

Posté par
garnouillere : cosinus d'un nbre complexe 01-11-19 à 20:35

Citation :
Oui c'est correct


merci Ulmiere  

*** message déplacé ***

Posté par
Ulmierere : cosinus d'un nbre complexe 01-11-19 à 20:45

Pour la 4 c'est plus délicat

Quand,
eiz=(2Z+)/2  ou   eiz=(2Z-)/2

Premièrement 2Z ne peut pas valoir ou - sinon l'exponentielle s'annulerait et il faut choisir l'autre solution
Ensuite, tu te retrouves avec une équation exp(iz) = A avec a un complexe non nul.
Comme exp est surjective sur C*, il existe un complexe a tq exp(ia) = A.
Alors ton équation devient exp(i(z-a)) = 1
Donc z - a = ...
Puis z = a+...

*** message déplacé ***

Posté par
garnouillere : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 01-11-19 à 21:27

mille excuses pour le multi post, j'ai voulu éviter de créer un nouveau topic car mes questions étaient en partie traitées ici mais je n'ai pas obtenu d'aide alors j'ai reformulé, une autre fois, je créerai directement un nouveau sujet !

Posté par
lafol Moderateurre : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 01-11-19 à 21:35

ThierryPoma avait pourtant commencé à te répondre ....

Posté par
garnouillere : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 01-11-19 à 21:42

je reprends :
si a est solution de l'équation cos(z)=Z alors a est solution de l'équation (e^ {iz})^2-2Ze^{iz}+1=0 et e^{ia}=\frac{Z+\delta }{2} ou e^{ia}=\frac{Z-\delta }{2} avec \delta ^2=4(Z^2-1)

on a donc  e^{ia}=A  ou e^{ia}=A'

1er cas : si A=0 alors A'0  ou le contraire

il n'y a qu'une famille de solution et on a
z solution de  cos(z)=Z  ssi   e^{iz}=e^{ia}  
soit   e^{i(z-a)}=1  donc z-a=2k\pi
soit z=a+2k\pi


2ème cas : si A0 et A'0

on a alors   e^{iz}=e^{ia}  ou e^{iz}=A ou A'

et ça fait deux familles de solutions que je n'arrive pas à relier

je ne trouve rien de simple entre A et A'

Posté par
garnouillere : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 01-11-19 à 21:50

Citation :
ThierryPoma avait pourtant commencé à te répondre ....


lafol, tu as raison
je présente à nouveau mes excuses

Posté par
garnouillere : C'est quoi le Cosinus d'un nombre complexe? 02-11-19 à 00:24

alors, à force de chercher... j'ai finir par voir que la fct cosinus d'un nbre complexe est paire donc

si z_0 est solution de l'équation   cos(z)=Z  alors (-z_0) l'est aussi, on a donc

e^{iz}=e^{iz_0}  ou e^{iz}=e^{-iz_0}

soit z=z_0+2k\pi  ou z=-z_0+2k\pi


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