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Niveau terminale
cacul d'arctan
Posté par jelneb
bonsoir ,
alors dans mon exercice on me demande de montrer que
5arctan(1/8) + 2arctan(1/18)+3arctan(1/57)=pi/3
de maniere general quand j ce type d'exercice je fais inttoduire le tan tout en s'assurant que c compris entre pi/2 et -pi/2 mais la vu qu'il ya 5 et 3 a coté des arctan je suis un peu perdu
merci d'avance
Bonjour,
c'est faux
ça devrait donner pi/4 pas pi/3
(faute de frappe ?)
une méthode avec l'argument de nombres complexes :
développer (8+i)5(18+i)2(57+i)3 ...
pas dur, mais fastidieux et des nombres "assez grands",
à la fin ça doit donner K(1+i), avec un K pas mal grand
prouvant ainsi que l'argument de ça, c'est à dire
5 fois l'argument de 8+i, c'est à dire 5arctan(1/8)
plus 2 fois l'argument de 18+i etc ...
est bien pi/4
salut,
"de maniere general quand j ce type d'exercice je fais inttoduire le tan tout en s'assurant que c compris entre pi/2 et -pi/2 mais la vu qu'il ya 5 et 3 a coté des arctan je suis un peu perdu"
une piste: 5=2+3
un peu plus de détail sur cette piste cryptique :
si on calcule tan(5arctan(x) + 2arctan(y) + 3arctan(z)) en fonction des tan(arctan(x)) = x etc
on a en fait à utiliser une formule de tan(a+b+c) = tan((a+b)+c)
on en déduit tan(3a) et tan(5a) = tan(2a+3a)
pas sur que les calculs numériques soient plus simples avec des fractions de fractions à diverses puissances.
Bonjour 
si on utilise pour tout x>0, ça pourrait aider ou pas ?
Du coup
Ça permet de simplifier les fractions au début toujours
Puis ensuite peut-être aussi utiliser, (puisqu'ici, on serait en présence de nombres > 1)
... à voir !
En combinant toutes les idées de ce fil.
tout est permis !
je pense qu'on peut utiliser la formule atan(X)+atan(Y)=... plusieurs fois de suite
le membre de gauche est 5A+2B+3C=2(A+B)+3(A+C)
on applique la formule 2 fois
on continue sur ce principe
effectivement on peut réduire le nombre de fois qu'il faut appliquer la formule atan(x)+atan(Y) avec ton espèce de "factorisation" 2(A+B)+3(A+C)
avec les complexes on peut écrire
(8+i)5(18+i)2(57+i)3 = ((8+i)(18+i))2((8+i)(57+i))3
mais bon, le résultat final est le même,
(nombres à 13 chiffres, et idem avec les fractions d'ailleurs, c'est juste une présentation différente des mêmes calculs numériques)
"nombres à 13 chiffres, et idem avec les fractions d'ailleurs"
je ne comprends pas je n'ai que des fractions intermediaires tres simples
ah oui, j'avais oublié de simplifier chaque fraction, au fur et à mesure....
donc c'est faisable à la main avec une calculette ordinaire (à défaut de poser des multiplications)