Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

cacul d'arctan

Posté par
jelneb
21-10-21 à 00:30

bonsoir ,
alors dans mon exercice on me demande de montrer que
5arctan(1/8) + 2arctan(1/18)+3arctan(1/57)=pi/3

de maniere general quand j ce type d'exercice je fais inttoduire le tan tout en s'assurant que c compris entre pi/2 et -pi/2 mais la vu qu'il ya 5 et 3 a coté des arctan je suis un peu perdu

merci d'avance

Posté par
mathafou Moderateur
re : cacul d'arctan 21-10-21 à 02:26

Bonjour,

c'est faux
ça devrait donner pi/4 pas pi/3
(faute de frappe ?)

une méthode avec l'argument de nombres complexes :
développer (8+i)5(18+i)2(57+i)3 ...

pas dur, mais fastidieux et des nombres "assez grands",
à la fin ça doit donner K(1+i), avec un K pas mal grand

prouvant ainsi que l'argument de ça, c'est à dire
5 fois l'argument de 8+i, c'est à dire 5arctan(1/8)
plus 2 fois l'argument de 18+i etc ...
est bien pi/4

Posté par
alb12
re : cacul d'arctan 21-10-21 à 09:00

salut,
"de maniere general quand j ce type d'exercice je fais inttoduire le tan tout en s'assurant que c compris entre pi/2 et -pi/2 mais la vu qu'il ya 5 et 3 a coté des arctan je suis un peu perdu"
une piste: 5=2+3

Posté par
mathafou Moderateur
re : cacul d'arctan 21-10-21 à 11:50

un peu plus de détail sur cette piste cryptique :

si on calcule tan(5arctan(x) + 2arctan(y) + 3arctan(z)) en fonction des tan(arctan(x)) = x etc
on a en fait à utiliser une formule de tan(a+b+c) = tan((a+b)+c)
on en déduit tan(3a) et tan(5a) = tan(2a+3a)

pas sur que les calculs numériques soient plus simples avec des fractions de fractions à diverses puissances.

Posté par
jsvdb
re : cacul d'arctan 21-10-21 à 14:11

Bonjour
si on utilise \arctan(1/x)+\arctan(x) = \pi/2 pour tout x>0, ça pourrait aider ou pas ?

Du coup 5\arctan(1/8) + 2\arctan(1/18)+3\arctan(1/57) = 5\pi - (5\arctan(8) + 2\arctan(18)+3\arctan(57))

Ça permet de simplifier les fractions au début toujours

Puis ensuite peut-être aussi utiliser, \arctan(x) + \arctan(y) = \arctan \left(\frac{x+y}{1-xy}\right) + \pi (puisqu'ici, on serait en présence de nombres > 1)

... à voir !

En combinant toutes les idées de ce fil.

Posté par
alb12
re : cacul d'arctan 21-10-21 à 14:17

tout est permis !
je pense qu'on peut utiliser la formule atan(X)+atan(Y)=... plusieurs fois de suite
le membre de gauche est 5A+2B+3C=2(A+B)+3(A+C)
on applique la formule 2 fois
on continue sur ce principe

Posté par
mathafou Moderateur
re : cacul d'arctan 21-10-21 à 14:29

effectivement on peut réduire le nombre de fois qu'il faut appliquer la formule atan(x)+atan(Y) avec ton espèce de "factorisation" 2(A+B)+3(A+C)

avec les complexes on peut écrire
(8+i)5(18+i)2(57+i)3 = ((8+i)(18+i))2((8+i)(57+i))3

mais bon, le résultat final est le même,
(nombres à 13 chiffres, et idem avec les fractions d'ailleurs, c'est juste une présentation différente des mêmes calculs numériques)

Posté par
alb12
re : cacul d'arctan 21-10-21 à 18:02

"nombres à 13 chiffres, et idem avec les fractions d'ailleurs"
je ne comprends pas je n'ai que des fractions intermediaires tres simples

Posté par
mathafou Moderateur
re : cacul d'arctan 21-10-21 à 18:17

???

Posté par
mathafou Moderateur
re : cacul d'arctan 21-10-21 à 18:52

ah oui, j'avais oublié de simplifier chaque fraction, au fur et à mesure....

donc c'est faisable à la main avec une calculette ordinaire (à défaut de poser des multiplications)

Posté par
alb12
re : cacul d'arctan 21-10-21 à 19:49

on peut se passer de la calculatrice
jelneb Qu'en penses-tu ?



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1680 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !