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Niveau maths spé
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Calcul

Posté par Profil etudiantilois 15-09-19 à 03:13

Bonsoir,

J'ai un travail de Maths à faire qui me pose problème.

Je dois montrer que :

1. \forall u \in[-1;1], 0 \leq e^{u}-1-u \leq e*\frac{u^{2}}{2}.

Puis :

Pour x réel, on pose : \varphi (x) = \int_{0}^{1}{\frac{e^{-x(1+t^{2})}}{1+t^{2}}} dt.

2. a) Justifier que la fonction phi est définie sur R.
b) Soient x un réel fixé quelconque et h un réel fixé tel que : |h| \leq \frac{1}{2}.

Montrer, à l'aide du résultat de la question 1, que :

|\varphi (x+h)-\varphi (x) + \int_{0}^{1}{h*e^{-x(1+t^{2})}dt}| \leq \frac{eh^{2}}{2}  \int_{0}^{1}{(1+t^{2})*e^{-x(1+t^{2})}dt}

Mes pistes :

1. J'ai pensé à une étude de fonctions, mais est-ce la bonne méthode ?

2. a. C'est un argument sur la continuité ?

Merci par avance pour l'aide et bon dimanche.

Posté par
perroquetre : Calcul 15-09-19 à 08:27

Bonjour, etudiantilois.

1) Non, ce n'est pas la bonne méthode (on peut cependant obtenir le résultat demandé en faisant deux études de fonctions). Si on pose  f(u)=e^u, on a:
e^u-1-u=f(u)-f(0)-uf'(0)    
Ensuite, il faut penser à une égalité de Taylor ou une inégalité de Taylor.

2a) C'est effectivement un argument de continuité qu'il faut utiliser pour justifier l'existence de \varphi.

Posté par Profil etudiantiloisre : Calcul 15-09-19 à 10:44

Merci pour votre réponse.

L'égalité de Taylor c'est un développement limité ?

Si oui, je ne vois pas comment je pourrais faire...

Posté par
perroquetre : Calcul 15-09-19 à 11:47

Il y a 4  "formules de Taylor":

l'égalité de Taylor-Young:
il s'agit d'un développement limité (cela ne permet pas d'obtenir l'inégalité demandée)

l'égalité de Taylor-Lagrange:
on ne va pas beaucoup en parler parce que cette égalité n'est plus dans les programmes de prépa

l'inégalité de Taylor-Lagrange:
si f est de classe C^n sur [a,b], dérivable n+1 fois sur ]a,b[ et si |f^{(n+1)}| est majorée par M sur ]a,b[, alors:
\left| f(b)-\sum_{k=0}^n \dfrac{(b-a)^k}{k!} f^{(k)}(a)\right| \leq M\dfrac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}

l'égalité de Taylor-Lagrange avec reste intégral:
je ne détaille pas

Il faut aller chercher dans ton cours ces différentes formules, vérifier les hypothèses et les apprendre     .

La formule à laquelle je faisais allusion dans mon post précédent est l'inégalité de Taylor-Lagrange (qui reste valable si a>b) qu'on applique pour n=1 , a=0 et  b=u.

Posté par Profil etudiantiloisre : Calcul 15-09-19 à 12:01

Le problème est que je n'ai pas l'inégalité dont vous parlez dans mon cours...

Posté par
perroquetre : Calcul 15-09-19 à 13:01

Et l'égalité avec reste de Taylor intégral ?

f(b)=\sum_{k=0}^{n} \dfrac{(b-a)^k}{k!} f^{(k)}(a) + \int_a^b \dfrac{(b-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) dt

Posté par Profil etudiantiloisre : Calcul 15-09-19 à 13:09

Non plus...

Posté par Profil etudiantiloisre : Calcul 15-09-19 à 13:10

Et ensuite, la question 2.c est :

En déduire que phi est dérivable sur R, avec :

Pour tout x appartenant à R, phi ' (x)= - intégrale entre 0 et 1 de e^(-x(1+t^2)) dt.

J'ai essayé d'utiliser la formule du taux d'accroissement, mais sans succès...

Merci encore pour l'aide.

Posté par
perroquetre : Calcul 15-09-19 à 13:24

On va rester sur la question 1 (elle est nécessaire pour traiter la question 2c).

Comme tu l'avais envisagé, il faut faire deux études de fonctions:
f(u)=e^u-1-u    (montrer que f  reste positive sur [-1,1] )
g(u)=e^u-1-u-e\dfrac{u^2}{2}   (montrer que g  reste négative sur [-1,1] )

Posté par Profil etudiantiloisre : Calcul 18-09-19 à 17:11

J'ai réussi la 1, merci beaucoup !

Par contre, je n'arrive toujours pas à la 2.c...

Comment faire ? Merci beaucoup.

Posté par
carpediemre : Calcul 18-09-19 à 18:26

salut

ben déjà commencer par nous donner ce que vaut la valeur absolue ...

Posté par Profil etudiantiloisre : Calcul 18-09-19 à 18:43

Merci pour la réponse.

La valeur absolue de quoi ?

Posté par
carpediemre : Calcul 18-09-19 à 19:02

ha pardon j'ai trouvé le 2c ....

Posté par Profil etudiantiloisre : Calcul 18-09-19 à 19:45

Et donc comment peut-on faire pour répondre à la 2.c ?

Merci beaucoup.

Posté par
carpediemre : Calcul 18-09-19 à 20:13

l'intégrande est une fonction de deux variables ... donc dérivation sous le signe intégrale ...

n'as-tu pas des résultats la-dessus ?

Posté par
perroquetre : Calcul 18-09-19 à 21:36

Si on divise par h l'égalité obtenue dans la question 2b, on obtient:

\left| \dfrac{\varphi(x+h)-\varphi(x)}{h} - \int_0^1 -e^{-x(1+t^2)}dt\right| \leq |h| \dfrac{e}{2} \int_0^1 (1+t^2)e^{-x(1+t^2)}dt

On en déduit la dérivabilité de \varphi en x et la valeur de \varphi '(x)

Posté par Profil etudiantiloisre : Calcul 19-09-19 à 02:03

Bonsoir,

Je n'avais pas eu le temps de recopier tout l'énoncé complet. Le voici donc ci-dessous sous sa forme complète, et dans le message qui suit, j'ai récapitulé là où j'en suis.

Énoncé :

1. \forall u \in[-1;1], 0 \leq e^{u}-1-u \leq e*\frac{u^{2}}{2}.

Pour x réel, on pose : \varphi (x) = \int_{0}^{1}{\frac{e^{-x(1+t^{2})}}{1+t^{2}}} dt.

2. a) Justifier que la fonction phi est définie sur R.
b) Soient x un réel fixé quelconque et h un réel fixé tel que : |h| \leq \frac{1}{2}.

Montrer, à l'aide du résultat de la question 1, que :

|\varphi (x+h)-\varphi (x) + \int_{0}^{1}{h*e^{-x(1+t^{2})}dt}| \leq \frac{eh^{2}}{2}  \int_{0}^{1}{(1+t^{2})*e^{-x(1+t^{2})}dt}

c. En déduire que est dérivable sur , avec :

\forall x \in R, \varphi '(x)=-\int_{0}^{1}{e^{-x(1+t^{2})}dt} \\
3. a. Calculer (0).
b. Montrer que limx->+infini(x)=0.

4. a. Pour x , on pose : f(x)=\varphi (x^{2})+(\int_{0}^{x}{e^{-t^{2}}dt})^{2}.

b. Montrer que pour tout x réel : \int_{0}^{x}{e^{-t^{2}}dt}=x*\int_{0}^{1}{e^{-x^{2}*u^{2}}du}

c. En déduire que f est constante sur . Préciser la valeur de cette constante.

5. En déduire la valeur de \int_{0}^{+\infty }{e^{-t^{2}}dt}.
Après avoir montré en utilisant le théorème de comparaison des fonctions positives, la convergence de l'intégrale \int_{-\infty}^{+\infty }{e^{-t^{2}}dt}, conclure.

Posté par Profil etudiantiloisre : Calcul 19-09-19 à 02:06

Bonsoir,

Je résume là où j'en suis dans ce devoir.

1. OK.

2.a) OK.

b) J'en suis ici : \\ \varphi (x+h) - \varphi (x) + \int_{0}^{1}{h*e^{-x(1+t^{2})}dt}=\int_{0}^{1}{\frac{e^{-x(1+t^{2})}}{e^{h(1+t^{2})}(1+t^{2})}} - \int_{0}^{1}{\frac{e^{-x(1+t^{2})}}{1+t^{2}}}+\int_{0}^{1}{\frac{h*e^{-x(1+t^{2})}}{1+t^{2}}}

A partir de là je suis bloqué, j'ai bien vu que l'on doit faire apparaître \int_{0}^{1}{\frac{e^{-x(1+t^{2})}}{1+t^{2}}*(e^{h}-1-h)dt}, mais même en factorisant, en mettant sur le même dénominateur la ligne de calcul juste au-dessus, je ne trouve rien... Comment faire ? Et ensuite, comment utiliser le résultat de la question 1 pour montrer l'inégalité demandée lorsque j'ai \int_{0}^{1}{\frac{e^{-x(1+t^{2})}}{1+t^{2}}*(e^{h}-1-h)dt} ?

c. En divisant l'inégalité de 2.b, par h, on obtient : \\ \dfrac{\varphi(x+h)-\varphi(x)}{h} - \int_0^1 -e^{-x(1+t^2)}dt\right| \leq |h| \dfrac{e}{2} \int_0^1 (1+t^2)e^{-x(1+t^2)}dt
Puis on passe à la limite lorsque h tend vers 0.

Alors le terme de droite tend vers 0- si h tend vers 0-, et tend vers 0+ si h tend vers 0+. Ensuite, je sens que je suis proche du but, mais je ne sais pas comment manipuler la valeur absolue, cela me perturbe... Comment faire ?

3. a. J'ai simplement remplacé x par 0 dans l'expression de (x) donnée à la question 1. J'obtiens : (x)=arctan(1)-arctan(0)=/4. Est-ce correct ?

b. Là je ne trouve pas...  OK, la fonction à intégrer est entre 0 et 1/ (1+t²), mais en quoi cela permet de répondre à la question ? Comment continuer une fois que l'on dit ça pour trouver la limite ?

4. a. Il faut effectivement dériver des composées, mais comment dériver les intégrales ?
Cela me paraît évident mais j'ai un doute sur les hypothèses et sur la formule exacte...

b. J'ai essayé avec un changement de variable, mais sans succès...

c. Pas réussie...

5. Pas réussie non plus...

Ce devoir est à rendre vendredi, j'ai vraiment besoin d'aide, j'ai mis énormément de temps à écrire ce message, si vous pouviez m'aider à terminer ce devoir, ce serait formidable ! Merci beaucoup.

Posté par
perroquetre : Calcul 19-09-19 à 06:14

En reprenant tes notations.

Question 2b
Ce qu'il faut faire apparaître, c'est    \int_0^1 \dfrac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2} * (e^{y(t)}-1-y(t))dt,      avec      y(t)=-h(1+t^2)

Question 2c
Si le terme de droite tend vers 0 quand h tend vers 0, il en est de même pour le terme de gauche, on a donc:
\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\varphi(x+h)-\varphi(x)}{h} -\int_0^1 -(1+t^2) e^{-x(1+t^2)} dt =0

Question 3a
OK

Question 3b
On majore la fonction à intégrer par la constante  e^{-x}  (j'écris "constante" parce qu'elle ne dépend pas de la variable d'intégration "t")

Question 4a
Si f  est continue, alors, F définie par  F(x)=\int_a^x f(t) dt est une primitive de f.  F est donc dérivable et  F'=f

Question 4b
Changement de variable    t=xu

Posté par Profil etudiantiloisre : Calcul 19-09-19 à 10:06

Merci beaucoup pour la réponse.

Question 2.b :

Je viens d'essayer de faire apparaître cela, mais cela n'a encore pas abouti...

Question 2.c :

Mais où intervient la valeur absolue du membre de gauche de l'inégalité alors ?

Question 3.b :

Je ne comprends pas : à quoi ça sert de majorer ?

4.a OK et 4.b je n'ai pas encore réussi le changement de variables...

Merci beaucoup.

Posté par
perroquetre : Calcul 19-09-19 à 11:16

Question 3a:

On utilise un théorème de  ce type:

Citation :

Si    |f(x)-b| \leq g(x) et si g est de limite 0 quand x tend vers a, alors, f est de limite b quand x tend vers  a

Si un tel théorème n'est pas connu, on peut remplacer l'inégalité  |f(x)-b| \leq g(x) par     b-g(x)\leq f(x) \leq b+g(x) et appliquer un théorème d'encadrement.


Question 3b:
On va aboutir à un encadrement      0 \leq \varphi(x) \leq g(x)  ,  g étant de limite 0 en +\infty.

Questions 4a et 4b:
Il faudrait donner le détail des calculs pour voir:
1) si la question 4a est réussie
2) comment le changement de variable a été écrit

Question 2b:
Il y a une faute de calcul dans le détail des calculs (message du 19 septembre, à 2h06).

Posté par Profil etudiantiloisre : Calcul 19-09-19 à 12:28

Merci pour la réponse.

Question 2.b :

Je vais réessayer...

Question 2.c :

Je ne comprends pas votre raisonnement : "Si le terme de droite tend vers 0 quand h tend vers 0, il en est de même pour le terme de gauche". Que faire de la valeur absolue ?

Question 3.a : pourquoi me donnez-vous des indications alors que vous aviez écrit OK auparavant ?

Question 3.b : je n'y arrive toujours pas et pourtant j'ai beaucoup cherché... Pourriez-vous m'expliquer le raisonnement svp ?

4. a : je vous donne le résultat dès que je l'ai, donc vers 18h quand je rentrerai chez moi...

4.b : Comment faire ?

MERCI pour l'aide, je sens que je progresse, lentement mais sûrement !

Posté par
perroquetre : Calcul 19-09-19 à 13:34

Question 3a:
C'est OK.
En fait, je répondais à tes interrogations sur la question 2c.

Question 3b:
J'avais suggéré de montrer que     0 \leq \varphi(x) \leq  e^{-x} et de remarquer que e {-x} tend vers 0 quand x tend vers +\infty.

Question 4b:
J'ai donné le changement de variable à faire. Il faut l'écrire ...

Posté par Profil etudiantiloisre : Calcul 19-09-19 à 17:25

Merci pour la réponse.

Les questions qui me posent encore problème sont les questions 3.b et 4.b... Pour le reste je pense que c'est bon, merci beaucoup !

Pourriez-vous me détailler les réponses aux questions 3.b et 4.b svp ? J'ai vraiment beaucoup cherché et je dois rendre ce travail demain...

MERCI.

Posté par
perroquetre : Calcul 19-09-19 à 17:45

Question 4b:
Tant que je n'aurai pas vu comment tu écris le changement de variable t=xu, je ne donnerai pas d'indication supplémentaire.

Question 3b:
J'avais suggéré de démontrer que pour x positif:  \forall t \in [0,1] \ , \ \dfrac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2} \leq e^{-x}
Tant que je n'aurai pas vu au moins un essai de démonstration, je ne donnerai pas d'indication supplémentaire.

Posté par Profil etudiantiloisre : Calcul 19-09-19 à 18:38

Justement, je n'arrive pas à voir comment je peux faire le changement de variables...

Il suffit de remplacer l'ancienne variable par la nouvelle ? Mais il y a un problème avec les bornes d'intégration...

Merci beaucoup.

Posté par Profil etudiantiloisre : Calcul 19-09-19 à 22:55

J'ai réussi le changement de variables, merci beaucoup !

Par contre, comment faire pour la 3.b ? Là je suis désolé, mais j'ai vraiment énormément cherché...

Merci beaucoup.

Posté par Profil etudiantiloisre : Calcul 19-09-19 à 23:01

(svp c'est pour demain... perroquet ou quelqu'un d'autre...

matheuxmatou, lafol, verdurin, cocolaricotte...)

Posté par Profil etudiantiloisre : Calcul 20-09-19 à 20:16

Mon professeur a donné un délai supplémentaire jusqu'à demain...

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider pour la 2.b svp ?

MERCI.

Posté par Profil etudiantiloisre : Calcul 20-09-19 à 21:48

svp malou ou quelqu'un d'autre...

Il n'y a plus que cette question 2.b et j'aurai fini mon devoir...

MERCI.

Posté par Profil etudiantiloisQuestion très rapide - 2 20-09-19 à 23:35

Bonsoir,

Est-ce que si on a l'intégrale de 0 à 2 de exp(t) dt, alors on a t qui prend uniquement ses valeurs entre 0 et 2 ?

*** message déplacé ***

Posté par
matheuxmatoure : Question très rapide - 2 20-09-19 à 23:38

bonsoir

heu ... en math spé ? faut voir la définition des symboles et notations de base ... ou alors je ne comprends pas la question

*** message déplacé ***

Posté par Profil etudiantiloisre : Question très rapide - 2 20-09-19 à 23:38

Je suis vraiment fatigué, et tout d'un coup j'ai un doute...

*** message déplacé ***

Posté par
jsvdbre : Question très rapide - 2 20-09-19 à 23:40

Outre la remarque de mm que je confirme, si tu as une intégrale d'une fonction entre deux bornes, alors l'argument de la fonction ne va pas se balader ailleurs qu'entre ces deux bornes, c'est clair !

*** message déplacé ***

Posté par Profil etudiantiloisre : Question très rapide - 2 20-09-19 à 23:42

Dernière question sur l'intégrale, si on a 0 inférieur ou égal à exp(u)-1-u inférieur ou égal à e*u²/2, peut-on écrire que :

| intégrale entre 0 et 1 de exp(-x*(1+t²))/(1+t²) * (exp(u)-1-u) dt | inférieur ou égal à intégrale entre 0 et 1 de exp(-x*(1+t²))/(1+t²) * e*(-h*(1+t²))/2 ?

*** message déplacé ***

Posté par
jsvdbre : Question très rapide - 2 20-09-19 à 23:44

Euhhh, bah tu sais, nous aussi on fatigue ...

*** message déplacé ***

Posté par Profil etudiantiloisre : Question très rapide - 2 20-09-19 à 23:46

Vous préférez que je l'écrive en latex ?

*** message déplacé ***

Posté par Profil etudiantiloisre : Question très rapide - 2 20-09-19 à 23:46

Car j'ai vraiment besoin d'une réponse...

*** message déplacé ***

Posté par
jsvdbre : Question très rapide - 2 20-09-19 à 23:46

Et nous, un grand besoin en clarté

*** message déplacé ***

Posté par Profil etudiantiloisre : Question très rapide - 2 20-09-19 à 23:49

Vous avez quelques minutes pour que j'écrive tout cela en Latex ?

*** message déplacé ***

Posté par
jsvdbre : Question très rapide - 2 20-09-19 à 23:55

De toute façon, si pas écrit en latex, pas de réponse, donc tu vois ce qu'il te reste à faire.

*** message déplacé ***

Posté par Profil etudiantiloisre : Question très rapide - 2 20-09-19 à 23:56

Dernière question sur l'intégrale, si on a  : 0 \leq exp(u)-1-u\leq \frac{e*u^{2}}{2}

Peut-on écrire que :

|\int_{0}^{1}{\frac{exp(-x*(1+t^{2}))}{1+t^{2}}) * (exp(u)-1-u) dt}| \leq \int_{0}^{1}{\frac{exp(-x*(1+t²))}{(1+t²)} *\frac{e*(-h*(1+t²))}{2}} dt

?

*** message déplacé ***

Posté par Profil etudiantiloisre : Question très rapide - 2 20-09-19 à 23:56

C'est mieux avec les balises !

Dernière question sur l'intégrale, si on a  : 0 \leq exp(u)-1-u\leq \frac{e*u^{2}}{2} \\
Peut-on écrire que :

|\int_{0}^{1}{\frac{exp(-x*(1+t^{2}))}{1+t^{2}}) * (exp(u)-1-u) dt}| \leq \int_{0}^{1}{\frac{exp(-x*(1+t²))}{(1+t²)} *\frac{e*(-h*(1+t²))}{2}} dt

?

*** message déplacé ***

Posté par
jsvdbre : Question très rapide - 2 21-09-19 à 00:04

Dans tes intégrales, c'est quoi u, h et x ??

*** message déplacé ***

Posté par Profil etudiantiloisre : Question très rapide - 2 21-09-19 à 00:08

u, c'est -h(1+t²), avec h réel compris entre -1/2 et 1/2, et t réel, et u compris entre -1 et 1.

C'est plus clair ?

*** message déplacé ***

Posté par
jsvdbre : Question très rapide - 2 21-09-19 à 00:12

Ok je crois avoir pigé (il doit manquer un carré quelque part tout à droite)
Ce que tu demandes, ce n'est rien d'autre que la croissance de l'intégrale.

*** message déplacé ***

Posté par Profil etudiantiloisre : Question très rapide - 2 21-09-19 à 00:14

Euh... C'est-à-dire la croissance de l'intégrale ?

Où interviendrait-elle ?

*** message déplacé ***

Posté par
jsvdbre : Question très rapide - 2 21-09-19 à 00:30

Si tu as  : 0 \leq exp(u)-1-u\leq \frac{e*u^{2}}{2} alors

0 \leq \frac{exp(-x*(1+t^{2}))}{1+t^{2}} * (exp(u)-1-u) \leq \frac{exp(-x*(1+t^{2}))}{1+t^{2}}*\frac{e*u^{2}}{2}

et donc

0 \leq \int_0^1\frac{exp(-x*(1+t^{2}))}{1+t^{2}} * (exp(u)-1-u)dt \leq \int_0^1 \frac{exp(-x*(1+t^{2}))}{1+t^{2}}*\frac{e*u^{2}}{2}dt

*** message déplacé ***

Posté par Profil etudiantiloisre : Question très rapide - 2 21-09-19 à 00:40

OK ! Mais alors où intervient la valeur absolue ? Comment la "gérer" ?

*** message déplacé ***

Posté par
jsvdbre : Question très rapide - 2 21-09-19 à 00:43

Elle sert à rien ici ...

*** message déplacé ***

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