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Calcul argument

Posté par
Serphone 24-04-18 à 11:05

Bonjour,

Il s'agit d'un exercice proposant une méthode de calcul de l'argument d'un nombre complexe de module 1.

Soit z0 un complexe de module 1. On construit la suite (zn) par la récurrence: zn+1 = zn2.
Pour tout n, on pose an=0 si Im(zn)>0 ou si Im(n)=0 et Re(zn)>0. Dans le cas contraire, on pose an=1.
Soit a le réel qui s'écrit a = 0,a0a1a2... en base 2.

Montrer que 2a = arg(z0).

Quel est l'intérêt algorithmique de cette technique de calcul de l'argument ?

Je n'ai pas vraiment de pistes pour le moment, à part voir que:
a = \sum_{}^{}{\frac{a_k}{2^{k+1}}}
et que:
n.arg(z_0) = \sum{\frac{arg(z_k)}{2^k}}

Posté par
lafol Moderateurre : Calcul argument 24-04-18 à 12:00

bonjour
1) il manque des parenthèses dans la définition des an, qui est ici ambiguë
2) d'où à où vont les sommes ?
3) que représente n dans la dernière ligne ?

Posté par
luzakre : Calcul argument 24-04-18 à 15:01

Bonjour !
Tu devrais essayer, en notant \theta\in[0,2\pi[ l'argument de z_0, d'introduire un encadrement du type \dfrac{\pi}{2^{m+1}}<\theta\leqslant\dfrac{\pi}{2^m} et voir quel est le premier chiffre binaire non nul.
Tu pourras ainsi encadrer \theta-\Bigl(2\pi \sum_{0\leqslant k<m}\Bigr) et montrer que la différence a pour limite 0.
En même temps cela te donne une façon d'arrêter l'algorithme puisque tu connais l'erreur...

Posté par
Serphonere : Calcul argument 24-04-18 à 15:08

Bonjour,

Effectivement quelques précisions s'imposent:

1) an= 0 si Im(zn)>0 ou si ( Im(zn)=0 et Re(zn)>0 ).
Sinon an= 1

2) et 3) la première somme va de 0 à +
la seconde somme va de 0 à n fixé

Posté par
Serphonere : Calcul argument 24-04-18 à 18:59

Merci Luzak !

Effectivement si on note m l'indice du premier chiffre binaire non nul,
alors arg(z_m) = 2^m\theta \in [\pi ,2\pi [
et donc \frac{\pi}{2^m} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2^{m-1}}

Par contre je n'arrive pas à terminer le 2e encadrement de \theta - \left(2\pi \sum_{0\leq k\leq m}^{}{\frac{a_k}{2^{k+1}}} \right)
parce que pour moi le 1e encadrement n'est valable que pour le premier chiffre binaire non nul et plus pour les suivants, et je n'arrive pas à trouver un encadrement équivalent.

Posté par
carpediemre : Calcul argument 24-04-18 à 19:41

salut

z = e^{it}

z_{n + 1} = z_n^2 => z_n = e^{i2^nt}

Im  z_n > 0 \iff 2^nt \in [0  ,  \pi]  [2\pi]

Im  z_n = 0 $ et $ Re  z_n > 0 \iff 2^nt \in \left[- \dfrac {\pi} 2  ,  \dfrac {\pi} 2 \right]  [2\pi]

Posté par
luzakre : Calcul argument 25-04-18 à 05:19

En tronquant la série 2a=\sum_{0\leqslant k}a_k\,2^{-k} au terme a_p il est facile de montrer que le reste est encadré par 0;\;2^{-p} : tous les chiffres sont positifs et tu obtiens un majorant en majorant ces chiffres par 1...

Voici une autre méthode.
Soit \theta_n\in[0,2\pi[ (je préfère ne pas utiliser la notation "Arg" qui n'est pas définie par l'énoncé et qui est souvent définie autrement) un représentant des arguments de z_n.
Par définition de a_n on a :
(a_n=0\implies0\leqslant\theta_n<\pi) et (a_n=1\implies\pi\leqslant\theta_n<2\pi)
Donc, dans tous les cas, \pi\,a_n\leqslant\theta_n<\pi(1+a_n).

Par récurrence on montre alors : \forall n\in\N,\;S_n=\sum_{0\leqslant k\leqslant n}a_k\,2^{-k}\leqslant\dfrac{\theta_0}{\pi}<S_n+2^{-n}.
C'est vrai pour n=0 car S_0=a_0\leqslant\dfrac{\theta_0}{\pi}<a_0+1=S_0+2^{-0}.

Si la formule est vraie à l'ordre n, en multipliant par 2^{n+1} il vient 0\leqslant 2^{n+1}\theta_0-\pi\,2^{n+1}S_n<2\pi.
Comme 2^{n+1}S_n est un entier pair on a donc montré que le réel encadré est le représentant dans [0,2\pi[ de la classe modulo 2\pi du réel 2^{n+1}\theta_0.
Cette classe est aussi celle des arguments de z_{n+1} donc \pi\,a_{n+1}\leqslant2^{n+1}\theta_0-\pi\,2^{n+1}S_n=\theta_{n+1}<\pi(1+a_{n+1})
ou encore S_n+a_{n+1}2^{-n-1}\leqslant\dfrac{\theta_0}{\pi}<S_n+a_{n+1}2^{-n-1}+2^{-n-1}

.......................
Restent deux questions qui méritent une réponse :
1. Quel est l'intérêt de cet algorithme ?
2. Pourquoi l'énoncé a-t-il pris un complexe de module 1 ?

Posté par
Serphonere : Calcul argument 25-04-18 à 11:31

Merci pour vos réponses !

Luzak, ton explication est très claire. Mais il y a encore une question que je me pose: ne faut-il pas justifier que la série 2a = \sum_{k\geq 0}^{}{a_k2^{-k}} converge avant de passer la dernière inégalité à la limite ?
Le reste, qui est encadré par 0 et 2-p tend vers 0 mais est-ce que ça suffit à dire que la série converge ?

Pour les deux questions, je ne suis pas sûr mais je dirais que l'intérêt de l'algorithme est de pouvoir contrôle la précision que l'on veut sur 0 à 2-n près.
Et le fait d'utiliser un complexe de module 1 évite d'avoir le module des zn qui augmente de manière exponentielle et devienne vite incalculable sur une implémentation de l'algorithme.

Posté par
luzakre : Calcul argument 25-04-18 à 12:34

Tu as des doutes sur une série dont la suite des restes a pour limite 0 ?

De plus , chaque terme (positif) est majoré par 2^{-n} ! Tu n'as jamais entendu parler de série géométrique ?

.....................
Ton argument pour le module vaut si |z_0|>1 mais, si |z_0|<1 tu as le problème des termes de la suite n\mapsto z_n qui deviennent incalculables (plus exactement indiscernables de 0) sur un ordinateur pour n grand.

.......
Si ton but est de confier cet algorithme à un ordinateur je te signale qu'il est difficile d'en trouver un qui ne sache pas calculer les lignes trigonométriques et la fonction "Arctg"  fournit immédiatement (sans aucune programmation) une valeur de l'argument...

Il est vrai en revanche que cet algorithme est "amusant" puisqu'il permet de trouver l'argument sans calcul de lignes trigonométriques, uniquement avec des produits et sommes de réels et, si on sait programmer ces opérations avec beaucoup de précision ton idée de maîtriser l'erreur est très bien venue.
Attention quand même,  pour passer de la représentation binaire de \dfrac{\theta_0}{\pi} à l'argument il faudra multiplier par \pi ce qui est plus problématique si on veut maintenir une précision meilleure que celle prévue dans l'ordinateur.

Posté par
Serphonere : Calcul argument 25-04-18 à 12:51

Effectivement, ça paraît évident maintenant !

J'ai ressorti cet exercice de mes cours de sup, mais c'était il y a plus de 10 ans et beaucoup de notions sont un peu loin dans ma mémoire

Merci pour tes remarques et explications.

Posté par
carpediemre : Calcul argument 25-04-18 à 13:21

en plus et surtout travailler en base 2 avec un ordi ... quoi de plus naturel ...


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