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Calcul d'intégral complexe

Posté par
SalmaEl30 25-11-19 à 11:37

Bonjour,

je dois calculer une intégrale complexe I=\int \frac{z+2}{z^{2}+1}dz sur un cercle de rayon 3/2, centrée en 0 et parcouru dans le sens direct. J'ai essayé de décomposer le fraction en éléments simples puis de faire le changement de variable z=\frac{3}{2}e^{i\theta } avec teta entre 0 et 2pi, mais je bloque.

Posté par
jsvdbre : Calcul d'intégral complexe 25-11-19 à 11:47

Bonjour SalmaEl30
Là, c'est une application directe du théorème des résidus.

Posté par
Ulmierere : Calcul d'intégral complexe 25-11-19 à 11:53

Sans utiliser de gros théorème

\dfrac{z+2}{z^2+1} = \dfrac{z-i}{(z-i)(z+i)} + \dfrac{i+2}{z^2+1} = \dfrac1{z+i} + \dfrac{i-2}{z^2+1}

Ensuite, tu décomposes en éléments simples la fraction et z²+1 qu'il reste.

Ensuite, théorème des résidus, ou autre méthode de ton choix (par exemple, formule de Cauchy pour exprimer les intégrales des inverses en fonction de l'indice de \pm i par rapport à ton contour).

Posté par
jsvdbre : Calcul d'intégral complexe 25-11-19 à 12:02

f(z) = \frac{z+2}{z^{2}+1}, z \in \C-\{i,-i\}

I=\int_{C(0,3/2)} f(z) dz = 2i\pi (\text{Res }(f,i)+\text{Res }(f,-i))

Comme i et -i sont des pôles d'ordre 1 :

\text{Res }(f,\pm i) = \lim_{z\rightarrow \pm i}(z\pm i)f(z)

Quant à l'indice, on va imaginer qu'on fait un seul tour de manège ...


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