bonjour jai un calcul a faire mais je ny arrive pas ou plutot je naboutis pas à un résultat satisfaisant...
il s'agit de calculer pour k entier naturel
I(k)= intégrale(de 0 à 1) de (x^k*[(ln(x))^k]) dx
or on me propose de faire le changement de variable v = -(k+1)ln(x) dans
lintégrale (de E à 1) de (x^k*[(ln(x))^k]) dx
(avec 0 < E < 1)
j'ai alors décider de poser ce qui est d'apres moi équivalent: soit x =exp(v*(-1/(k+1))
et j'aboutis à
I(k)= [1/(k-1)] intégrale (de [-ln(E)(k+1)] à 0) de exp(-v)*[(-v/(k+1))]^k dv .
et la je narrive pas à trouver de primitive pour trouver la valeur de cette intégrale
please help me...
merci!
Intégrale impropre mais convergente car lim(x-> 0+) [x^k.(ln(x))^k] = 0
Poser v = -(k+1).ln(x)
x = e^(-v/(k+1))
dx = (-1/(k+1)).e^(-v/(k+1)) dv
Si x -> 0+, v -> +oo
Si x -> 1, v -> 0
On a donc:
-----
Par parties.
Poser -->
et poser -->
Or et donc:
On procédant par intégrations par parties successives, on obtient donc:
---
On a donc finalement:
-----
Sauf distraction.
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